佩多不等式

幾何學嘅佩多不等式，係關連兩個三角形嘅不等式，以唐。佩多(Don Pedoe)嚟命名。

呢個不等式指出：如果第一個三角形嘅邊長係 $a,b,c$，面積係 $f$，第二個三角形嘅邊長係 $A,B,C$，面積係 $F$，咁：

$A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff$，

等式成立嘅條件係當且只當兩個三角形係一對相似三角形，對應邊成比例；
亦即係 $a/A=b/B=c/C$。

證明

• • 由海倫公式，兩個三角形嘅面積可用邊長表示為

$16f^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

$16F^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})$,

再由柯西不等式，

$16Ff+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}$

$\leq {\sqrt {(16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}{\sqrt {(16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}$

$=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})$

於是，

$16Ff\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}$

$=A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$ ，命題得到咗證實。

等號成立嘅條件係當且只當$a/A=b/B=c/C={\sqrt {f/F}}$ ，亦都即係話兩個三角形相似。

• • 幾何證法

三角形嘅面積同邊長嘅平方成正比，所以喺要證明嘅果條式嘅兩邊都乘以一個系數 $\lambda ^{2}$，使到 $\lambda A=a$，幾何意義係將第二個三角形取相似。

假設呢個時候 $A$、$B$、$C$ 變成 $x$、$y$、$z$，$F$ 變成 $F'$。

考慮 $AA'$ 嘅長度。由餘弦公式，

$AA'^{2}=AB^{2}+BA'^{2}-2AB\cdot BA'\cos(\angle B-\angle B')$

$=c^{2}+z^{2}-2cz(\cos \angle B\cos \angle B'+\sin \angle B\sin \angle B')$

將$\cos \angle B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}},\cos \angle B'={\frac {x^{2}+z^{2}-y^{2}}{2xz}}$,$\sin \angle B={\frac {2f}{ac}},\sin \angle B'={\frac {2F'}{xz}}$代入就變成：

$0\leq AA'^{2}=c^{2}+z^{2}-2cz\left({\frac {(a^{2}+c^{2}-b^{2})(x^{2}+z^{2}-y^{2})}{4acxz}}+{\frac {4F'f}{acxz}}\right)$

兩邊化簡咗之後同時乘以 ${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$，並注意到 $a=x$，就可得到原不等式。

等號成立嘅條件係當且只當$A$ 同 $A'$ 重合，即兩個三角形相似。