同胚羣

喺拓樸學入面，一個拓樸空間嘅同胚羣係由嗰個空間打返去自己嘅同胚所組成嘅羣，個羣嘅乘法係同胚嘅複合。同胚羣對研究拓樸學好重要，係自同構羣嘅一個例子。同胚羣係一個拓樸不變量，意思係如果兩個拓樸空間係同胚嘅話，佢哋嘅同胚羣係羣同構嘅。$X$嘅同胚羣用符號嚟寫可以寫做$Homeo(X)$。

性質同例子

同胚羣可以自然噉作用喺底下個拓樸空間到。設$X$係一個拓樸空間，$G$係佢嘅同胚羣，噉個作用就係噉樣定義：

${\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}$

呢個係一個羣作用，因為對所有$\varphi ,\psi \in G$，

$\varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)$

當中粒點 $\cdot$ 代表個羣作用，而且好容易就可以檢查到，$G$入面嘅單位元素（即係$X$嘅恆等函數）將每粒點都打返去佢自己到。如果呢個作用係遞移嘅話，就會話個拓樸空間係齊性嘅。

同胚羣上嘅拓撲結構

同拓撲空間之間嘅其他映射集一樣，同胚羣可以被賦予一個拓撲結構，例如緊緻開拓撲。如果底下個空間係正則、局部緊緻嘅話，羣乘法就會係連續。

如果個空間係緊緻同埋Hausdorff嘅話，噉個逆作為$Homeo(X)\to Homeo(X)$嘅映射係連續嘅，噉嘅話$Homeo(X)$就係一個拓樸羣。如果$X$係Hausdorff、局部緊緻同局部連通嘅話$Homeo(X)$都會係一個拓樸羣 。但係，存在一啲局部緊緻、可分嘅度量空間$X$，佢個逆映射唔連續，導致佢個$Homeo(X)$唔係一個拓樸羣。

喺拓樸空間範疇入面（用同胚做態射），同胚羣正正就係羣物件。

映射類羣

喺幾何拓樸學入面，啲人會考慮對同痕（isotopy）做商餘嘅商羣，叫做映射類羣（mapping class group）:

${\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)$

MCG亦都可以解讀做第0個同倫羣，$MCG(X)=\pi _{0}(Homeo(X))$，呢個解讀製造左一個短正合序列（short exact sequence）:

$1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.$

係某啲情況，例如研究平面嗰陣，會用呢條短正合序列嚟研究同胚羣。首先會研究個映射類羣，跟住係同痕類平凡嘅同胚，最後再諗個羣擴張。

參考

書目

• Hazewinkel, Michiel, 編 (2001), "homeomorphism group", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104