楊氏不等式

喺數學上，楊氏不等式，指出：假設 $a$、$b$、$p$ 同 $q$ 係正實數，且有 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，咁樣：

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$

等號成立當且僅當 $a^{p}=b^{q}$，因為呢個時候$ab=a(b^{q})^{1 \over q}=aa^{p \over q}=a^{p}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$

楊氏不等式係加權算術－幾何平均值不等式嘅特例，楊氏不等式係証明赫爾德不等式嘅一個快捷方法。

證明

我哋知道函數$f(x)=e^{x}$係一個凸函數，因為佢嘅二階導數恒為正。從而我哋有：

$ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$

呢度我哋用咗凸函數嘅一個性質：對任意 $t$，如果 $0<t<1$，就有：

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$

推廣

設$\phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$係一個連續、嚴格遞增函數而且 $\phi (0)=0$。下面嘅不等式成立：

$ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy$

觀察$\phi (x)$嘅圖形，好容易睇出呢個不等式嘅一個直觀証明：以上兩個積分式所表示嘅區域之和比由$a$同$b$組成嘅矩形嘅面積大。