保西奴-華實斯定理

保西奴-華實斯定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）係一條嗚數學分析同拓樸學上面都係一條極重要嘅定理。佢係利用到增減數列同子數列嘅關係而形成。

個名源自兩個十九世紀數學家Bernard Bolzano同埋Karl Weierstrass，1817年首先由前者證明。

增減子數列存在定理

增減數列同子數列嘅關係，就係每一個數列入面都會有一條子數列同時佢係一條增減數列。

證明：

假設數列入面第$m$項係最高點，即係話第$m$項會係數列入面數值最高嗰一個項，之後無一個項係高過佢，即係$x_{m}\geq x_{n},\,\forall n\geq m$。

即係話，一條數列係遞減數列嘅話，每一點都係最高點。相反，每一點都唔係最高點。

數列只可以分成有無限咁多個最高點，或者得有限咁多個最高點，兩類。

第一類；假設數列係有無限咁多最高點，咁只要揀曬佢嘅最高點出黎，就得出

$$x_{m_{1}}\geq x_{m_{2}}\geq \cdots \geq x_{m_{k}}\geq \cdots$$

由此，可以得出一條遞減嘅子數列。

第二類；假設數列係得有限個最高點，咁首先搵曬佢嘅最高點出嚟，

$$x_{m_{1}},{m_{2}},\cdots ,x_{m_{k}}$$

將所有最高點之後嘅一個項叫做$x_{s_{1}}$。

因為$x_{s_{1}}$唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做$x_{s_{2}}$，咁即係$x_{s_{1}}\leq x_{s_{2}}$。

因為$x_{s_{2}}$唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做$x_{s_{3}}$，咁姐係$x_{s_{2}}\leq x_{s_{3}}$。

如此類推，就會得出一個增長嘅子數列。

保西奴-華實斯定理

一個被綁定嘅實數列一定會有一個子數列係趨向一點。

證明一

因為增減子數列存在定理，所以數列一定會有一條增減子數列。

假設左數列係被綁定，因此佢嘅增減子數列都一定係被綁定。

利用增減趨向定理，咁呢條增減子數列一定趨向一點。

證明二

需要利用套間證明。

因為數列$(x_{n})$係被綁定，咁佢一定有一個最小上界限同最大下界限，即係$a:=\inf\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$同埋$b:=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$。

將$a$同$b$組成一個間距$I_{1}:=[a,b]$。

將$n_{1}:=1$，然後將$I_{1}$斬開兩等分，即係$I_{1}'$同$I_{1}''$。而將$(x_{n})$大過一嘅項數$\{n\in \mathbb {N} :n>1\}$分開做，

$$A_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}'\}\quad B_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}''\}$$

咁明顯，其中一面$A_{1}$或者$B_{1}$係有無限咁多點。假設$A_{1}$係有無限咁多點，

將$n_{2}$定義為$A_{1}$入面項數最細嗰一項。即係$A_{1}$入面有$\{x_{3},x_{2},x_{5},x_{11},\cdots \}$，咁$n_{2}:=2$。

將$I_{2}:=I_{1}'$，之後再將$I_{2}$斬開兩等分，即係$I_{2}'$同$I_{2}''$。而再將$A_{1}$嘅數分開，

$$A_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}'\}\quad B_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}''\}$$

同樣原理，咁其中一面$A_{2}$或者$B_{2}$係有無限咁多點。假設$A_{2}$係有無限咁多點，

將$n_{3}$定義為$A_{2}$入面項數最細嗰一項。

如似類推，就會有一個套間，$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq \cdots \supseteq I_{k}\supseteq \cdots$。而同時，佢嘅子數列$(x_{n_{k}})$都會有$k\in \mathbb {N}$項係喺第$k$嘅間距入面。姐係$x_{n_{k}}\in I_{k},\,\forall k\in \mathbb {N}$。

同時，因為每次都將個間距等分兩份，所以間距嘅長度就會係${\frac {b-a}{2^{k-1}}}$。

利用套間定理，得知有一個點$\xi \in I_{k}$係喺所有嘅間距入面，即係$\xi \in I_{k},\,\forall k\in \mathbb {N}$。

因為$\xi \in I_{k}$同$x_{n_{k}}\in I_{k}$都係喺$I_{k}$入面，所以可以知道

$$|x_{n_{k}}-\xi |\leq {\frac {b-a}{2^{k-1}}}$$

因為$k$變到好大嘅時候，${\frac {b-a}{2^{k-1}}}$可變成任意嘅數。

所以，$\lim x_{n_{k}}=\xi$。

推論

如果一條數列係被綁定，而佢嘅所有子數列都係趨向一點$x\in \mathbb {R}$，咁呢條數列係趨向同一點$x\in \mathbb {R}$。

睇埋

• 極限
• 子數列
• 增減數列