笛卡兒積

笛卡兒積係一種集合之間嘅運算，又叫做直積。

笛卡兒積 $A\times B$，$A=\{x,y,z\}$，$B=\{1,2,3\}$

我哋可以用一個表嚟表示笛卡兒積 $A\times B$，當中 $A$ 同 $B$ 分別係行同埋列，如果 $a\in A,b\in B$ 嘅話，第 $a$ 行 $b$ 列嗰一格就係填二元有序對 $(a,b)$ 喇。

定義

設X同Y係兩個集合，噉X同Y嘅笛卡兒積就係：

$X\times Y=\{(x,y)|x\in X\land y\in Y\}$

或者講，兩個集合嘅笛卡兒積包括咗所有滿足下列條件嘅二元有序對：呢啲有序對當中每一個嘅第一個對象屬于第一個集合，而第二個對象屬于第二個集合。

當$X\neq Y$嘅時候，嚴格嚟講 $X\times Y$ 同 $Y\times X$ 唔相等，但係佢哋之間有自然嘅一一對應：$(x,y)\leftrightarrow (y,x)$。

當$X=Y$嘅時候，可以將 $X\times X$ 簡寫成$X^{2}$。

實例

$\{1,2\}\times \{3,4\}=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$

用R表示實數集，則R²表示所有嘅實二元數對，亦可以直觀噉認為表示成個笛卡兒坐標平面。