超限數

超限數係大過晒所有嘅有限數、仍然唔需要定義做絕對無窮嘅基數或者序數。術語「超限」（transfinite）係由康托爾提出，佢希望避免詞語無限（infinite）同嗰啲只不過唔係有限（finite）嘅嗰啲義象有關嘅某啲暗含。

當期時其他作者都好少有呢啲疑惑；依家俾人所接受嘅用法係假定超限基數或者序數係無限嘅，但即使係咁，而家術語「超限」一樣重有人用緊。

對於有限數，有兩種方式考慮超限數，作為基數同作為序數。不似得有限基數同序數咁樣，超限基數同超限序數定義咗唔同類別嘅數。

• 最細嘅超限序數係ω。

• 第一個超限基數係 aleph-0 $\aleph _{0}$，整數嘅無限集合嘅勢。如果選擇公理成立，下一個更高嘅基數就係 aleph-1 $\aleph _{1}$。如果唔成立，就會出現好多唔可以同 aleph-1 比較並且大過 aleph-0 嘅其他基數。但係喺任何情況之下，點都唔會有基數係大過 aleph-0 並且細過 aleph-1。

連續統假設聲稱係 aleph-0 同連續統（實數嘅集合）嘅勢之間係冇任何中間基數：即係話 aleph-1 係額數集合嘅勢。已經喺數學上証實咗連續統假設係証實唔到係真定係假，咁係由於不完備性嘅影響。

某啲作者，比如 Suppes、Rubin 用術語超限基數嚟稱呼戴德金無限集合嘅勢，係可以唔等於無限基數嘅上下文中；即係話係唔假定可數選擇公理成立嘅上下文中。

假設呢個定義係啱，下面四項就係等價嘅：

• $\mathbf {m}$ 係超限基數。就係話有一個戴德金無限集合 A 令到 A 嘅勢係 $\mathbf {m}$。
• $\mathbf {m} +1=\mathbf {m}$。
• $\aleph _{0}\leq \mathbf {m}$。
• 有一個基數 $\mathbf {n}$ 使到 $\aleph _{0}+\mathbf {n} =\mathbf {m}$。

引用

• O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) , MacTutor History of Mathematics archive.
• Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
• Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

參考

• Beth 數
• 大基數
• Mahlo 基數
• 無窮細