喺數學,特別係代數入面,係指一個非零交換環,當中唔係 0 嘅元素乘埋一齊都唔係 0。域係整數環嘅推廣,係域上面我哋可以研究整除性。係域入面,每一個非零元素都有消除性質:如果 ,咁

域幾乎係所有地方都係咁樣定義,但係都有啲變體。有啲書唔要求域有乘法單元,又或者可以係唔交換環。係呢篇文入面,我哋要求域係要有乘法單元同埋係交換嘅。

定義

域基本上被定義爲非零交換環 ,使得兩個非零嘅數乘埋都要係非零。用數學式寫出來,就係:

 

呢個定義可以用下面嘅方法去重寫:

  • 域係無非零零因子嘅非零環。
  • 域係一個交換環,當中零理想係一個質理想
  • 域係一個非零交換環,當中每一個非零元素係乘法之下都係可消除嘅。
  • 域係一個環,當中非零元素形成一個乘法monoid
  • 域係一個非零交換環,當中對每一個非零元素   ,「將   打去  」呢個函數都係單射

一個好重要嘅性質係,場嘅每一個子環都係一個域,掉反轉,對每一個域,我哋都可以構作一個場(域中分數場),使得個域係個場嘅子環,呢個亦都可以作爲域嘅定義:

  • 域係一個環,同構於一個場嘅子環。

例子

  • 整數環   係域嘅原型。
  • 任何一個場都係一個域,例如實數場  有理數場  ,掉反轉,任何 Artinian域都係一個場,所以任何有限域都係有限場。  係一個唔係場嘅例子,佢係個非 Artinian 無限域,有無限遞降嘅理想,例如:
 
  • 一個多項式環,如果係數係嚟自域嘅話,咁佢自己都係域,例如   上面嘅單未知數多項式環  ,或者   上面嘅 n-未知數多項式環  
  • 對一個域取質理想嘅,結果依然係一個域,例如  ,佢對應一條橢圓曲線,係一個域。
  • 如果  無平方整數嘅話,  係一個域,如果  ,咁佢就係   嘅子環,否則佢就係   嘅子環。
  • p進整數   係一個域。
  • 如果    上面嘅一個連通開集,咁   上面嘅所有 holomorphic函數組成一個環,呢個環係一個域。對應咁我哋可以考慮解析流形入面,連通開集上面嘅解析函數環。

非例子

以下嘅環唔係域:

  • 零環(得一個元素,  嘅環)
  • 如果   係一個合成數,當中  ,咁   就唔係域,因爲  ,但係   同埋  
  • 兩個非零交換環嘅,因爲  
  • 如果  平方數嘅話,  唔係一個域。

域中分數場

內文: 域中分數場