循環無窮分數（Periodic Continued Fraction）係無窮分數嘅其中一種，就好似循環小數咁，係無窮分數嘅表達方法，佢有啲位置係會循環。
一個循環無窮分數![{\displaystyle [a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n},\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88482cbf2d378b45467b7a407dc5bf60a9b3d21d)
，對應一個不變嘅
同一個夠大既
，會滿足
。
一般會叫 做呢個循環嘅周期。
例子：![{\displaystyle [{\overline {1,2}}]=[1,2,1,2,1,2,\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373955446c3382301b1c54820d9d5dc7b7c132e1)
![{\displaystyle [{\overline {1,2}}]=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+\cdots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc56bf334b289410440db9ce9fcd72761af05b38)
因為![{\displaystyle x=[{\overline {1,2}}]=[1,2,[{\overline {1,2}}]]=[1,2,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c0be0d5c85da329dec4403a0859edf652c8604)
，所以![{\displaystyle x=[{\overline {1,2}}]=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cf656a5b205b36be2b908a4d159c9581b5eeac)
計算
循環無窮有一個決定性嘅條件，去決定一個數字係唔係可以寫成循環分數。
一個無理數
係二次無理數或平方無理數（Quadratic Irrational），咁即係話佢係一條二次多項式（Quadratic Polynomial）嘅根（Root），而呢個多項式係喺
上面嘅，即係每一個項嘅常數都係
。
一個無限無窮簡單無窮分數係一個循環分數，咁佢一定（
）係平方無理數。
