極限 (函數)

函數極限（Limit of Function）係數學分析同微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面，定義函數極限係需要用到包圍點同埋$\varepsilon -\delta$技巧。

包圍點

定義

首先需要假設$A\subseteq \mathbb {R}$係實數嘅子集。

將$c\in \mathbb {R}$定為任意一點，畀任何一個$\delta >0$，如果存在一點$x\in A$，同時$x\neq c$，符合$|x-c|<\delta$。

咁呢點$c\in \mathbb {R}$就係叫做$A$嘅包圍點（Cluster Point）。

如果用鄰區（neighborhoods）嘅角度嚟定義包圍點；

假設有一點$c$，每一個$c$嘅$\delta$鄰區（delta-neighborhoods）$V_{\delta }(c)=(c-\delta ,c+\delta )$，入面都會有一點係屬於$A$嘅，係唔等於$c$。咁$c$就係$A$嘅包圍點。

性質

如果$c$係$A$嘅包圍點，咁就一定有一個係$A$嘅數列$(a_{n})$係趨向$c$呢點，同時所有嘅項都符合$a_{n}\neq c$，即係$\lim(a_{n})=c{\text{ and }}a_{n}\neq c,\,\forall n\in \mathbb {N}$。反之亦然，「$\iff$」。

函數極限

定義

首先需要假設$A\subseteq \mathbb {R}$係實數嘅子集，同時$c$係$A$嘅包圍點。

如果有一個函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$同一點實數$L$，同下面呢件事成立；

畀任何嘅$\varepsilon >0$，佢都會有一個對應嘅$\delta >0$，令到喺$A$入面嘅點$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta$，而佢使到$|f(x)-L|<\varepsilon$。

咁樣函數$f(x)$就係趨向（Converge）實數$L$。即係$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$。

一般就叫，$L$做$f(x)$係$c$點嘅極限（Limits of $f(x)$ at $c$）。

或者會話：「當$x$接近$c$嗰時，$f(x)$會趨向$L$。」，呢句嘢會寫做$f(x)\rightarrow L{\text{ as }}x\rightarrow c$。

$\varepsilon -\delta$技巧

$\varepsilon -\delta$技巧（$\varepsilon -\delta$ Technique）係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面，最基本，同時對於新學習數學嘅人嚟講，係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前，需要用到一個草稿技巧，去搵出所需要嘅$\varepsilon -\delta$。係一定需要一個先草稿，後證明嘅方法，呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用$\varepsilon -\delta$技巧去證明其他函數極限嘅定理，會被稱為用硬功夫嘅方法。

例子：

證明$\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {2x+1}{2x-1}}=3$。

草稿

先計算$|{\frac {2x+1}{2x+1}}-3|$。

${\begin{aligned}|{\frac {2x+1}{2x-1}}-3|&=|{\frac {2x+1}{2x-1}}-{\frac {3(2x-1)}{2x-1}}|\\&={\frac {|4-4x|}{|2x-1|}}\\&={\frac {|-4(x-1)|}{|2x-1|}}\\&={\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}\end{aligned}}$

將$\delta :={\frac {1}{4}}$。注意唔可以將佢設做${\frac {1}{2}}$，因為分母會變$0$。

得知$0<|x-1|<\delta ={\frac {1}{4}}$。

而家要處理嘅，係個分母$|2x-1|$。要搵一個合理嘅限綁死$|2x-1|$。

因為上面限定咗$0<|x-1|<{\frac {1}{4}}$，即係話$1-{\frac {1}{4}}\leq 1-\delta <x<1+\delta \leq 1+{\frac {1}{4}}$。

由上可得，${\frac {3}{4}}\leq x\leq {\frac {5}{4}}$，再推斷得知，$|x|\leq {\frac {3}{2}}$。

${\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}<{\frac {4|x-1|}{|2({\frac {3}{4}})-1|}}<{\frac {4|x-1|}{\frac {1}{2}}}<6|x-1|$。

得出呢條式之後，就可以知到將$\delta :=\inf\{{\frac {1}{4}},{\frac {\varepsilon }{6}}\}$

證明

畀任何$\varepsilon >0$，將$\delta :=\inf\{{\frac {1}{4}},{\frac {\varepsilon }{6}}\}$。

因為$x\in V_{\delta }(1)$符合$0<|x-1|<\delta$，當$0<|x-1|<{\frac {1}{4}}$得知，

$${\begin{aligned}1-{\frac {1}{4}}&\leq x\leq 1+{\frac {1}{4}}\\{\frac {3}{4}}&\leq x\leq {\frac {5}{4}}\end{aligned}}$$

計算，$|{\frac {2x+1}{2x-1}}-3|=|{\frac {2x+1}{2x-1}}-{\frac {3(2x-1)}{2x-1}}|={\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}$。

因為得知${\frac {3}{4}}\leq x\leq {\frac {5}{4}}$，所以${\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}\leq {\frac {4|x-1|}{|2({\frac {3}{4}})-1|}}\leq 6|x-1|<6\delta =6({\frac {\varepsilon }{6}})=\varepsilon$。

獨有極限性質

假設有一個函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$。如果$f$有一點包圍點$c$，咁佢只有一個係$c$點嘅極限。

證明：

假設有兩點$L$同$L'$都符合極限嘅定義。

咁畀任何嘅$\varepsilon >0$，

都會有一個$\delta >0$，令到$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta$，令到$|f(x)-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}$；

同時，都會有一個$\delta '>0$，令到$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta '$，令到$|f(x)-L'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

將$\delta ^{*}:=\inf\{\delta ,\delta '\}$，令到$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta ^{*}$。

再利用三角形不等式，

${\begin{aligned}|L-L'|&=|L-L'+f(x)-f(x)|\\&\leq |L-f(x)|+|f(x)-L'|\\&\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}$

函數數列要求

函數同數列有一個重要嘅連繫，而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢，就係函數數列要求（Sequential Criterion for Limits）。呢個定理，可以將數列嘅全部特性，主要係數列極限嘅特性，轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理，會叫做利用軟功夫嘅方法。

定理

假設有一個函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$同時$c$係$A$嘅包圍點。咁以下兩句係等價「$\iff$」：

• $\lim _{x\rightarrow c}f=L$；
• 任何喺$A$入面嘅數列$(x_{n})$，佢係趨向$c$呢點，而同時所有嘅$n\in \mathbb {N}$都係$x_{n}\neq c$，咁$(f(x_{n}))$呢條數列就會趨向$L$。

證明：

$(\Rightarrow )$

假設$\lim _{x\rightarrow c}f=L$成立，同時$(x_{n})$係$A$入面嘅數列，並且$\lim(x_{n})=c$而所有嘅$n\in \mathbb {N}$都符合$x_{n}\neq c$。

畀任何一個任意嘅$\varepsilon >0$。

根據函數極限嘅定義，會有一個$\delta >0$，令到喺$A$入面嘅一點$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta$，使到$|f(x)-L|<\varepsilon$。

根據數列極限嘅定義，會有一個$N\in \mathbb {N}$，使到第$n\geq N$項符合$|x_{n}-c|<\delta$。

因此，將大過第$n\geq N$項放入函數，得知$|f(x_{n})-L|<\varepsilon$。

所以$\lim(f(x_{n}))=L$。

$(\Leftarrow )$

假設上點唔啱，即係$\lim _{x\rightarrow c}f\neq L$。

咁樣就會有一個$\varepsilon$-鄰區$V_{\varepsilon }(L)$，搞到揀任何一個$c$嘅$\delta$-鄰區，都會有一點$x_{\delta }\in A\cap V_{\delta }(c)$係$x_{\delta }\neq c$又同時$f(x_{\delta })\notin V_{\varepsilon }(L)$。換句話講，即係喺$\delta$-鄰區入面，放咗入函數之後對應嗰點，係會唔係對應嘅$\varepsilon$-鄰區入面。

因此得出，所有嘅$n\in \mathbb {N}$，$c$嘅${\frac {1}{n}}$-鄰區入面嘅$x_{n}$會符合$0<|x_{n}-c|<{\frac {1}{n}}$同$x_{n}\in A$，

但係所有$n\in \mathbb {N}$都符合$|f(x_{n})-L|\geq \varepsilon$。

所以喺$A\backslash \{c\}$入面嘅數列$(x_{n})$係趨向$c$，但係$(f(x_{n}))$唔趨向$L$。

利用否定證明嘅概念，得知$(\Leftarrow )$係正確。

極限計算

因為有咗函數數列要求，喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。

綁定定義

假設有個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$同一個函數$f:A\to \mathbb {R}$。假設$c$係$A$嘅包圍點。

如果存在一個$V_{\delta }(c)$係$c$嘅$\delta$鄰區，同埋一個數$M>0$，對所有嘅$x\in A\cap V_{\delta }(c)$符合，$|f(x)|\leq M$。

咁會話，函數$f$係$c$嘅鄰區被綁定。（f is bounded on a neighborhood of c）

綁定性質

假設有個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$同一個函數$f:A\to \mathbb {R}$。

如果$f$係趨向$c$呢點，咁$f$就會被綁係一啲嘅$c$嘅鄰區入面。

證明：

證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。

硬功夫

假設$\lim _{x\to c}f=c$。設$\varepsilon :=1$。

根據定義，就會有一個$\delta >0$，令到$0<|x-c|<\delta$，使到$|f(x)-L|<\varepsilon =1$成立。

利用三角形不等式，$|f(x)|-|L|\leq |f(x)-L|<1$。

因此得知，$|f(x)|<1+|L|$。

由上面嘅式推斷出，所有$x\in A\cap V_{\delta }(c),x\neq c$，都會符合$|f(x)|<1+|L|$。

如果$c\notin A$，可以考慮$M:=1+|L|$。

再加埋$c\in A$，可以考慮$M:=\sup\{|f(c)|,1+|L|\}$。

總結，如果$x\in A\cap V_{\delta }(c)$，$|f(x)|\leq M$。

極限計算法則

基本上，同數列嘅法則係一樣。

假設有個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f:A\to \mathbb {R}$、$g:A\to \mathbb {R}$，重有一個實數$b\in \mathbb {R}$同$c\in \mathbb {R}$係包圍點。如果$\lim _{x\to c}f=L$，$\lim _{x\to c}g=M$，以下嘅等式成立：

1. $\lim _{x\to c}(f+g)=L+M$
2. $\lim _{x\to c}(f-g)=(L-M)$
3. $\lim _{x\to c}(f\cdot g)=L\cdot M$
4. $\lim _{x\to c}b\cdot f=b\cdot L$
5. 如果$h:A\to \mathbb {R}$，而所有嘅$x\in A$，$h(x)\neq 0$，同時$\lim _{x\to c}h=N\neq 0$，咁$\lim _{x\to c}{\bigl (}{\frac {f}{h}}{\bigr )}={\frac {L}{N}}$。

證明：

利用軟功夫，只需要將$(x_{n})$變成任何一條喺$A$入面嘅數列，符合$x_{n}\neq c$，而$\lim(x_{n})=c$。

因為函數數列要求，$\lim(f(x_{n}))=L$同$\lim(g(x_{n}))=M$成立。

之後利用數列極限嘅計算法，就會得出上面結果。

利用硬功夫嘅方法，因為定義得知，對應任何$\varepsilon >0$；

都會有$\delta _{f}>0$，令到$0<|x-c|<\delta _{f}$符合，使到$|f(x)-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}$符合。

都會有$\delta _{g}>0$，令到$0<|x-c|<\delta _{g}$符合，使到$|g(x)-M|<{\frac {\varepsilon }{2}}$符合。

證明(1)

設$\delta :=\sup\{\delta _{f},\delta _{g}\}$。計算：

$${\begin{aligned}|(f(x)+g(x))-(L+M)|&=|f(x)+g(x)-L-M|\\&=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}$$

證明(2)

設$\delta :=\sup\{\delta _{f},\delta _{g}\}$。計算：

$${\begin{aligned}|(f(x)-g(x))-(L-M)|&=|f(x)-g(x)-L+M|\\&=|(f(x)-L)-(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}$$

證明三，需要用到草稿嘅技巧。

草稿

根據定義，對應任何$\varepsilon >0$；

都會有$\delta _{f}>0$，令到$0<|x-c|<\delta _{f}$符合，使到$|f(x)-L|<?\varepsilon$符合。

都會有$\delta _{g}>0$，令到$0<|x-c|<\delta _{g}$符合，使到$|g(x)-M|<?\varepsilon$符合。

想求出$?$嘅數值，所以要計下：

$${\begin{aligned}|f(x)g(x)-LM|&=|f(x)g(x)-LM+f(x)M-f(x)M|\\&=|f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)|\\&<|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|\end{aligned}}$$

問題出現咗喺$|f(x)|$上面，因為佢係一個變數，唔知佢幾時係大，幾時係細。但係如果設，根據綁定性質嘅證明，$\varepsilon :=1$，就可以得知有一個$B>0$符合$|f(x)|\leq B$。

如果將$B':=\sup\{B,|M|\}$，咁$|f(x)|,|M|\leq B'$。

得出，$<B'?\varepsilon +B'?\varepsilon =2B'?\varepsilon$。咁$?={\frac {\varepsilon }{2B'}}$，所以就寫得出個證明。

證明(3)

假設$\lim _{x\to c}f=L$同$\lim _{x\to c}g=M$。

設$\varepsilon _{f}:=1$，根據綁定性質，可以得知有一個$B>0$符合$|f(x)|\leq B$。

設$B'=\sup\{B,|M|\}$同埋$\varepsilon :=\inf\{{\frac {\varepsilon }{2B}},1\}$。

都會有$\delta _{f}>0$，令到$0<|x-c|<\delta _{f}$符合，使到$|f(x)-L|<{\frac {\varepsilon }{2B}}$符合。

都會有$\delta _{g}>0$，令到$0<|x-c|<\delta _{g}$符合，使到$|g(x)-M|<{\frac {\varepsilon }{2B}}$符合。

計算；

$${\begin{aligned}|f(x)g(x)-LM|&=|f(x)g(x)-LM+f(x)M-f(x)M|\\&=|f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)|\\&<|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|\\&<B({\frac {\varepsilon }{2B}})+B({\frac {\varepsilon }{2B}})=\varepsilon \end{aligned}}$$

證明(4)

假設$f$係一個常數函數，即係$f(x)=b,b\in \mathbb {R}$。咁利用上面(3)就可以得出(4)。

證明五，需要證明「如果$h:A\to \mathbb {R}$，而所有嘅$x\in A$，${\frac {1}{h(x)}}\neq 0$，同時$\lim _{x\to c}h=N\neq 0$，咁$\lim _{x\to c}{\bigl (}{\frac {1}{h}}{\bigr )}={\frac {1}{N}}$。」係啱嘅話呢，利用三就可以證明出五。先做草稿：

草稿

計算：

$${\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\end{aligned}}$$

而家想搵一個$M>0$係使到${\frac {1}{|h(x)||N|}}\leq M$。

因為$\lim _{x\to c}h=N$，設$\varepsilon _{h}:={\frac {1}{2}}|N|$，都一定會有一個$\delta >0$，符合$0<|x-c|<\delta$，使到$|h(x)-x|<\varepsilon _{h}$

${\begin{aligned}||h(x)|-|N||\leq |h(x)-N|&<\varepsilon _{h}\\||h(x)|-|N||&<\varepsilon _{h}\\-\varepsilon _{h}&<|h(x)|-|N|\\-{\frac {1}{2}}|N|&<|h(x)|-|N|\\{\frac {1}{2}}|N|<|h(x)|\\\end{aligned}}$

所以，${\frac {1}{|h(x)|}}\leq {\frac {1}{{\frac {1}{2}}|N|}}={\frac {2}{|N|}}$。

姐係要將$\varepsilon ':=\inf\{2|N|\varepsilon ,{\frac {1}{2}}|N|\}$。咁就可以寫嘅證明。

證明(5)

因為$\lim _{x\to c}h=N$，根據定義，

設$\varepsilon ':={\frac {1}{2}}|N|$，都會有一個$\delta '>0$，令到$0<|x-c|<\delta '$成立，使到$|h(x)-N|<\varepsilon '$。

利用草稿所寫嘅嘢，得知${\frac {1}{|h(x)|}}\leq {\frac {1}{{\frac {1}{2}}|N|}}={\frac {2}{|N|}}$。

畀任何一個$\varepsilon ''>0$，咁有一個$\delta ''>0$，令到$0<|x-c|<\delta ''$成立，使到$|h(x)-N|<{\frac {1}{2}}\varepsilon ''|N|^{2}$。

設$\varepsilon >0$，咁就會有一個對應嘅$\delta >0:=\sup\{\delta ',\delta ''\}$，令到$0<|x-c|<\delta$成立，使到

$${\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$$

推斷

因上面嘅嘢可以得知以下都係啱：

• $\lim _{x\to c}(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}$
• $\lim _{x\to c}(f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots \cdot f_{n})=L_{1}\cdot L_{2}\cdot \cdots \cdot L_{n}$
• $\lim _{x\to c}(f(x))^{n}=L^{n}$

排序定理

假設有個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f:A\to \mathbb {R}$，$c\in \mathbb {R}$係包圍點。

如果所有嘅$x\in A,x\neq c$符合$a\leq f(x)\leq b$同時$\lim _{x\to c}f=c$，咁$a\leq \lim _{x\to c}f\leq b$。

證明：

都係利用軟功夫，將數列嘅排序定理引用過嚟。

夾縫定理

假設有個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f,g,h:A\to \mathbb {R}$，$c\in \mathbb {R}$係包圍點。

如果所有嘅$x\in A,x\neq c$符合$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$同時$\lim _{x\to c}f=\lim _{x\to c}h=L$，咁$\lim _{x\to c}g=L$。

不趨向要求

有趨向，就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到不趨向要求（Divergence Criteria）。

定義

首先需要假設$A\subseteq \mathbb {R}$係實數嘅子集，同時$c$係$A$嘅包圍點，而有一個函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$。

1. 如果$L\in \mathbb {R}$係喺實數入面嘅一點，咁「$f$唔係趨向$c$，或者$c$唔係$f$嘅極限$\iff$對應所有嘅$n\in \mathbb {N}$同埋$x_{n}\neq c$，有一條數列$(x_{n})$趨向$c$，但係$(f(x_{n}))$唔趨向$L$。」；
2. $f$唔係趨向$c$，或者$c$唔係$f$嘅極限$\iff$對應所有嘅$n\in \mathbb {N}$同埋$x_{n}\neq c$，有一條數列$(x_{n})$趨向$c$，但係喺$\mathbb {R}$入面$(f(x_{n}))$唔趨向一點。

證明：

(1) 已經從上面證明咗。

(2) 假設有一條數列$(x_{n})$趨向$c$，但係喺$\mathbb {R}$入面$(f(x_{n}))$唔趨向一點。

咁即係畀任何一個$\varepsilon >0$同$\delta >0$，$0<|x_{n}-c|<\varepsilon$同埋$|(f(x_{n}))-L|\geq \delta$都會成立。

所以唔符合極限嘅定義。

應用

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}$係唔存在喺實數入面。

左右趨向

將函數極限嘅定義改一改少少，咁就會有左右趨向嘅概念。

定義

假設有個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，同時有一個函數$f:A\to \mathbb {R}$。

如果$c\in \mathbb {R}$係$A\cap (c,\infty )=\{x\in A:x>c\}$嘅包圍點，同時有一點$L\in \mathbb {R}$符合：

畀任何嘅$\varepsilon >0$，都會有一個對應嘅$\delta >0$，令到所有嘅$x\in A$符合$0<x-c<\delta$，令到$|f(x)-L|<\varepsilon$符合。

咁樣$L$就係$f$喺$c$嘅右極限（Right-hand Limit of $f$ at $c$）。

一般會寫做，$\lim _{x\to c+}f=L$或者$\lim _{x\to c+}f(x)=L$。

如果$c\in \mathbb {R}$係$A\cap (-\infty ,c)=\{x\in A:x<c\}$嘅包圍點，同時有一點$L\in \mathbb {R}$符合：

畀任何嘅$\varepsilon >0$，都會有一個對應嘅$\delta >0$，令到所有嘅$x\in A$符合$0<c-x<\delta$，令到$|f(x)-L|<\varepsilon$符合。

咁樣$L$就係$f$係$c$嘅左極限（Left-hand Limit of $f$ at $c$）。

一般會寫做，$\lim _{x\to c-}f=L$或者$\lim _{x\to c-}f(x)=L$。

注意：左極限同右極限可以同時存在，又可以兩者都唔相等。左極限可以存在，但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限，咁$\lim _{x\to c}f=L$。

函數數列要求

因為有極限，所有就會有數列要求嘅出現。

右極限版本：

假設有一個函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$同時$c$係$A\cap (c,\infty )$嘅包圍點。咁以下兩句係等價「$\iff$」：

• $\lim _{x\rightarrow c+}f=L$；
• 任何喺$A$入面嘅數列$(x_{n})$，佢係趨向$c$呢點，而同時所有嘅$n\in \mathbb {N}$都係$x_{n}>c$，咁$(f(x_{n}))$呢條數列就會趨向$L$。

左極限版本：

假設有一個函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$同時$c$係$A\cap (\infty ,c)$嘅包圍點。咁以下兩句係等價「$\iff$」：

• $\lim _{x\rightarrow c-}f=L$；
• 任何喺$A$入面嘅數列$(x_{n})$，佢係趨向$c$呢點，而同時所有嘅$n\in \mathbb {N}$都係$x_{n}<c$，咁$(f(x_{n}))$呢條數列就會趨向$L$。

趨向無限

趨向無限有兩個定義，一個就係$f(x)$嘅數值趨向無限。例子有：$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\infty$。或者係當數值$x$趨向無限時，$f(x)$嘅數值會趨向一點。例子有：$\lim _{x\to \infty }0.1^{x}=0$。　

無窮極限

無窮極限（Infinite Limits）就係第一種趨向無限嘅極限。

定義

假設有一個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$，同時$c\in \mathbb {R}$係$A$嘅包圍點。

如果畀任何$a\in \mathbb {R}$，一定存在一個$\delta >0$，令到所有嘅$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta$，到會令到$f(x)>a$嘅話；

當$x$趨向$c$，$x\to c$，$f$嘅極限係正無限$\infty$（f tends to $\infty$ as $x\to c$）。

一般會寫成$\lim _{x\to c}f=\infty$。

如果畀任何$b\in \mathbb {R}$，一定存在一個$\delta >0$，令到所有嘅$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta$，到會令到$f(x)<b$嘅話呢；

當$x$趨向$c$，$x\to c$，$f$嘅極限係負無限$-\infty$（f tends to $-\infty$ as $x\to c$）。

一般會寫成$\lim _{x\to c}f=-\infty$。

例子

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

證明

畀任何一個$a>0$，設$\delta :={\frac {1}{\sqrt {a}}}$。

假設$0<|x|<\delta$，咁樣

$${\begin{aligned}x^{2}&<{\frac {1}{a}}\\{\frac {1}{x^{2}}}&>a\end{aligned}}$$

符合條件嘅$\delta$，其實可以利用$\varepsilon -\delta$技巧搵出嚟。

無限排序性質

假設有一個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$，同時$c\in \mathbb {R}$係$A$嘅包圍點。

假設任何嘅$\forall x\in A$同時$x\neq c$，$f(x)\leq g(x)$。

如果$\lim _{x\to c}f=\infty$，咁$\lim _{x\to c}g=\infty$。

如果$\lim _{x\to c}g=-\infty$，咁$\lim _{x\to c}f=-\infty$。

左右趨向定義

假設有一個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$，同時$c\in \mathbb {R}$係$A\cap (c,\infty )=\{x\in A:x>c\}$嘅包圍點。

如果畀任何$a\in \mathbb {R}$，一定存在一個$\delta >0$，令到所有嘅$x\in A$符合$0<|x-c|<\delta$，到會令到$f(x)>a$（對應係$f(x)<a$）嘅話；

當$x$趨向$c+$，$x\to c+$，$f$嘅極限係正無限$\infty$（f tends to $\infty$ as $x\to c+$）。

一般會寫成$\lim _{x\to c+}f=\infty$，（對應嘅係$\lim _{x\to c-}f=\infty$）。

趨向無限

趨向無限（Limits at Infinity）係第二種趨向無限嘅極限。

定義

假設有一個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$。

假設對應有啲$a\in R$，$(a,\infty )\subseteq A$。

畀任何$\varepsilon >0$，一定有一個$K>a$對應任何$x>K$，使到$|f(x)-L|<\varepsilon$嘅話；

$L\in \mathbb {R}$係$x$趨向無限時$x\to \infty$嘅極限（limit of $f$ as $x\to \infty$）。

一般會寫做$\lim _{x\to \infty }f=L$或者$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$。

函數數列要求

假設有一個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$。

假設對應有啲$a\in R$，$(a,\infty )\subseteq A$，咁以下兩句係等價：

• $\lim _{x\to \infty }f=L$
• 任何一條喺$A\cap (a,\infty )$入面嘅數列$(x_{n})$，佢係$(x_{n})\to \infty$，咁樣$(f(x_{n}))$就會趨向$L$。

趨向無限嘅無窮極限

將上面兩者夾埋，就會得出下面嘅定義。

定義

假設有一個實子集$A\subseteq \mathbb {R}$，函數$f(x):A\rightarrow \mathbb {R}$。

假設對應有啲$a\in R$，$(a,\infty )\subseteq A$。

畀任何$\varepsilon >0$，一定有一個$K>a$對應任何$x>K$，使到$f(x)>a$嘅話（對應係$f(x)<a$）；

喺$x$趨向無限時$x\to \infty$嘅極限係無窮（limit of $f$ as $x\to \infty$）。

一般會寫做$\lim _{x\to \infty }f=\infty$或者$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$。（對應係$\lim _{x\to \infty }f=-\infty$）