歐幾理德域

歐幾理德域（Euclidean domain）係一個代數性質。佢有一個條件，符合呢個條件嘅域，就係歐幾理德域。

定義編輯

一個域 ${\textbf {D}}$ 係歐幾理德域，咁佢一定有一個轉換 $E$ 將 ${\textbf {D}}$ 嘅嘢射去 $\mathbb {N} ^{+}$ ，非零整數，同埋呢個轉換一定係符合以下性質；

$E(0)=0$
對應所有 $a\in {\textbf {D}}$ ， $b\in {\textbf {D}}\backslash \{0\}$ ，一定會有一個 $q,r\in {\textbf {D}}$ 喺 ${\textbf {D}}$ 入面，使到 $a=qb+r$ 同埋 $E(r)<E(b)$ 。

一般會叫呢個轉換 $E$ 做歐幾理德距離（Euclidean Norm）。

明顯整數 $\mathbb {Z}$ 係一個歐幾理德域，同埋佢嘅距離就係 $E(a)=|a|$ 。因為有餘數定理，所以佢就係一個歐幾理德域。

每一個歐幾理德域都係單點環倍數域。

設 ${\textbf {D}}$ 係歐幾理德域。

咁 $\{0\}$ 一定係單點。

設 $I$ 做一個環倍數， $b\in I$ 係喺 $I$ 入面而且非零，重要符合 $E(b)=\min\{E(x):x\in I\backslash 0\}$ 。

如果 $a\in I$ ，咁就一定有 $q,r$ 使到 $a=qb+r$ ， $E(r)<E(b)$ 。

因為 $r=a-qb\in I$ ，咁除非 $r=0$ ，否則就會矛盾。

所以 $a=qb$ ， $I={\textbf {D}}b=\langle b\rangle$ ，係單點。

高斯整數（Gaussian Integers） $\mathbb {Z} [i]$ 係另一個出名嘅歐幾理德域。

$\mathbb {Z} [i]=\{x+yi:x,y\in \mathbb {Z} \},i={\sqrt {-1}}$

佢係一個域，同時佢嘅歐幾理德距離 $E$ 係 $E(z)=|x+yi|^{2}=x^{2}+y^{2}$