點線距離

點線距離係指一點同一直線之間嘅最短距離。

證明

喺x,y座標嚟講，設：

點 $P$ 嘅座標係 $(A,B)$。

直線 $L$ 嘅方程係 $y=ax+b$。

點同直線嘅 $y$ 差距係 $c$（交於$Q$）。

點同直線嘅 最短距離係 $d$（交於$R$）。

直線嘅斜率三角形（即高係$a$，底係$1$嘅三角形）嘅斜邊係 $s$。

會發現，三角形$PQR$ 同 斜率三角形係相似嘅，繼而得出${\frac {d}{c}}={\frac {1}{s}}$，所以$d=\left|{\frac {c}{s}}\right|$。

如果條直線向上移動 $c$ 格，嗰點就會同條直線重疊，即係$(A,B)$會符合方程 $y=ax+b+c$。

代入去得到 $B=aA+b+c$

所以 $c=B-b-Aa$

而用勾股定理可以得到 $s={\sqrt {1+a^{2}}}$

所以點線距離$d=\left|{\frac {B-b-Aa}{\sqrt {1+a^{2}}}}\right|$。

呢個結論同樣適用喺，當條直線用一般式嚟寫嘅時候：

$d=\left|{\frac {k}{s}}\right|$

$L:ax+by+c=0$，斜率係 ${\frac {-a}{b}}$，所以斜率三角形嘅高係$-a$，底係$b$，而$s={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$。

當點、線重疊時，$d=0$，$k=aA+bB+c=0$

所以點線距離$d=\left|{\frac {aA+bB+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|$。