3-色性

喺結理論入面，一個結嘅3-色性（英文：tricolorability）係指呢個結可唔可以喺遵守一系列嘅規則之下油上三隻色，可以嘅話就叫做可以3-着色（tricolorable或3-colorable）。3-色性係一種紐結不變量，所以可以用嚟區分某啲唔一樣（唔同痕）嘅結，例如，平凡結係唔可以3-着色嘅，所以所有可以3-着色嘅結都係唔平凡。

三色三葉結。

3-着色嘅規則

一個結如果可以根據以下嘅規則，爲佢嘅結圖每一條柄油上三隻色其中一隻嘅話，就叫做可以3-着色：

1. 成幅圖最少用咗2隻色；
2. 喺每一個交叉位，嗰3支柄一係全部同一隻色，一係就3隻唔同色。

某啲文獻指出一定要用嗮三隻色，對於一個結嚟講，「要用起碼2隻色」同「要用嗮3隻色」嘅要求無分別。但是，對於鏈接嚟講就係唔同既要求，例如由兩個平凡結組成嘅平凡鏈接就可以用兩隻色嚟油，但係用三隻色就唔得。

三葉結同平凡2-鏈接係可以3-着色嘅，但係平凡結、Whitehead鏈接同8字結都唔得，如果個結嘅一個投影係可以3-着色嘅，噉嗰啲Reidemeister移動就會保持呢個3-色性，所以對一個結嚟講，一係全部投影都可以3-着色，一係就全部唔得。

例子

呢到有個根據規矩嘅上色方法，習慣嚟講啲結理論家會用紅、藍、綠三隻色。

三色結嘅例子

阿嫲結（granny knot）係可以3-着色嘅，喺呢個着色入面每一個交叉位都有齊3隻色。將其中一個三葉結油嗮做紅色亦都係一個符合規則嘅着色。真愛結（true lover's knot）亦都係可以3-着色嘅。

少過9個交叉點嘅三色結包括6₁、7₄、7₇、8₅、8₁₀、8₁₁、8₁₅、8₁₈、8₁₉、8₂₀ 同埋 8₂₁。

非三色結嘅例子

8字結係唔可以3-着色嘅，因為喺幅圖到見到，佢有4支柄，任何兩支都係某個交叉點到相交，如果有3支係同一隻色嘅話，規則逼使剩返嗰支都係同一隻色，但係噉樣唔係一個可行嘅着色方法，但係如果一個交叉點用咗3隻色嘅話，剩返嗰支點都會同之前其中一支撞色，又係唔得。由於3-色性係一個紐結不變量，可以得證8字結係唔可以3-着色嘅。

紐結不變量

3-色性係一個紐結不變量，亦即係話係任何嘅環境同痕（ambient isotopy）之下同一個結或者鏈接嘅3-色性都唔會變，呢一點可以用Reidemeister移動黎證明：因為3款嘅Reidemeister移動都唔會影響3-色性，3-色性係一個紐結不變量。

第I型Reidemeister移動	第II型Reidemeister移動	第III型Reidemeister移動

特性

三葉結嘅所有3-着色方法，共9種。

因為3-色性係一個二元分類（一係得，一係唔得），其實佢係一個比較弱嘅不變量。例如，一個三色結同任意一個結嘅複合都係一個三色結，所以可以想像有好大部份嘅結都係三色結。其中一個改進嘅方法係去數3-着色嘅方法數量。噉嘅話，就唔再要求起碼要用2隻色，淨係要求每一個交叉位嗰3支柄一係全部同一隻色，一係就3隻唔同色。所以任何嘅結、鏈接而家起碼有3種3-着色方法（全部油嗮同一隻色，有3種色揀），而原本嘅三色結依家就有多過3種3-着色方法，例如右圖嘅三葉結總共有9種3-着色方法。

任何嘅可分鏈接，其中一部分係三色結嘅話，成個鏈接都可以3-着色（其他部份油嗮同一隻色就得）。

環面結

如果(m, n)環面結/鏈接係可以3-着色嘅話，對任何自然數 i 同 j ，(jm, in) 同 (in, jm)都可以3-着色。

睇埋

• Fox n-着色
• 圖着色

參考

 

書目

• Weisstein, Eric W. "Three-Colorable Knot". MathWorld. Accessed: May 5, 2013.