Erdős-Ulam 問題

喺數學入邊，Erdős-Ulam 問題（英文：Erdős-Ulam problem）就係想問平面入邊存唔存在一個稠密集，任意兩點嘅歐幾里得距離都係有理數。呢個問題係以數學家艾狄胥同 Stanislaw Ulam 命名嘅。

有理距離嘅大集

Erdős-Anning 定理話一個集如果啲距離全部都係整數嘅話，個集一係就有限一係就成一直線。但係，如果放鬆到有理數距離嘅話，就可以有其他嘅無限集，例如，喺單位圓上邊，設$S$係由

$(\cos \theta ,\sin \theta )$

呢啲點組成，其中限制$\theta$係令到$\tan {\dfrac {\theta }{4}}$係有理數嗰啲。咁嘅話每一點嚟講佢對應嘅$\sin {\dfrac {\theta }{2}}$同$\cos {\dfrac {\theta }{2}}$都係有理數，咁$\theta$同$\phi$兩個角度對應嗰兩點嘅距離就係

$\left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}-2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right|$

係一個有理數。再推廣少少，一個半徑係$\rho$嘅圓形可以有一個稠密有理距離子集若且唯若$\rho ^{2}$係有理數。不過，呢種稠密只係喺個圓上邊嘅稠密，唔係平面上嘅稠密。

歷史同部份進度

喺 1946年，Stanislaw Ulam 問平面上邊存唔存在稠密集，入邊每兩點嘅距離都係有理數。雖然呢個問題到依家都仲未有人答到，József Solymosi 同 Frank de Zeeuw 就證明到有無限粒有理距離點嘅不可約代數曲線就只有直線同圓形。Terence Tao 同 Jafar Shaffaf 各自獨立發現，如果 Bombieri-Lang 猜想係真嘅話，同樣嘅方法可以證明平面上唔存在稠密有理距離集。用另一個方法，Hector Pasten 證明 abc 猜想都可以否證 Erdős-Ulam 問題。

後果

如果 Erdős-Ulam 問題嘅答案係「有」嘅話，咁就可以提供 Bombieri-Lang 猜想同 abc 猜想嘅反例，佢亦都可以解決 Harborth 猜想，呢個猜想係問係咪所有平面圖都可以喺平面到畫出嚟，而且畫到每條邊都係整數長度。如果有一個稠密有理距離集嘅話，任何嘅平面圖都可以郁少少，令到每一點都喺呢個稠密集入邊，而且過程唔會製造交叉出嚟，再透過放大縮細將啲長度由有理數變成整數。不過，同 Erdős-Ulam 問題一樣，Harborth 猜想都係未有人答到嘅。