Hopf代數

Hopf 代數(Hopf Algebra)係種代數結構，喺李雙代數上再加一重結構：對頂算子(antipode)。Hopf 代數喺代數拓樸同表示論都會出現，亦係研究量子羣嘅理論基礎。

定義

設有

• k －一交換環；

k上嘅一Hopf 代數係序列 (A,∆, ∊,μ,ι,S) ，其中

• A 係 k 上嘅代數，亦同時係 k 上嘅逆代數(co-algebra)；
• 逆積影射 ∆: A-->A ⊗ A 同埋逆單位元 ∊:A-->k 都同時係 k-代數 影射；
• 代數積 μ: A⊗A -->A 同 單位元 ι: k-->A 同時係逆代數影射；
• k-模影射 S:A-->A ［叫做對頂算子(antipode)］，令下面嘅圖交換：

            S⊗id
A⊗A -------> A⊗A
    ↑                       | μ 
    |  ∆                   ↓   
  A    -------->      A
          ι ∙∊

           id⊗S
A⊗A -------> A⊗A
   ↑                         | μ 
    | ∆                     ↓ 
  A    -------->     A
          ι∙∊

兩Hopf代數間嘅態射(morphism) f: A-->B 係 支 k-模影射，同時係A同B上嘅代數結構同埋逆代數結構嘅態射。

例

• 有限羣G嘅羣環 k[G]
• 羣上嘅函數環
• 包絡代數
• 量子羣
• 李羣嘅同調

Hopf 代數嘅表示

• 伴隨(adjoint)表示: ad(a ⊗ a') = ∑_i a_i a' S(aⁱ); ∑ a_i⊗aⁱ := ∆(a)

• Trivial 表示
• 正則(regular)表示

唔變積分

好似緊緻李羣，Hopf代數上都有不變積分嘅概念：

設

• A 係 域 k 上嘅Hopf 代數。
• 1∈ k。

定義：

• 左不變積分 H 係 A* 嘅一元，使到

  〈 α ⊗ H , ∆(a)〉= 〈α , 1〉〈H, a〉。

例

設

• G －緊李羣
• dμ －Haar 測度
• f －G嘅有限維表示嘅矩陣元
• 〈H, f〉:= ∫_G f dμ

更深入嘅結構

• 幾乎交換 Hopf 代數(A, R) (en:Almost commutative Hopf algebra)：其中 A 係一 Hopf 代數，R 係 A⊗A 中嘅可逆元，令到A 中每一 元a ，有 ∆^op (a) = R∙ ∆(a)∙ R⁻¹ ; 其中∆^op (a) = P∙∆(a); 而P係對掉算子： P(a⊗b) = b⊗a .
• 半三角 Hopf 代數(en:Quasi-triangular Hopf algebra)

亦睇下

• 擬Hopf 代數 (en:quasi-Hopf algebra)
• 張量範疇

參考資料

• Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley:《A Guide to Quantum Groups》,1995, ISBN 0-521-55884-0.