User:Z423x5c6/絕對凸集

喺數學入面，絕對凸集係指實或者複向量空間入面嘅一種集，同時符合「凸」同「平衝」呢兩個性質。對向量空間入面嘅任何集$S$（凸唔凸都好），我哋有凸包呢個概念，佢係裝住$S$嘅最細凸集，亦都可以寫成所有裝住$S$嘅凸集嘅相交。同樣哋對應絕對凸呢個性質，我哋有絕對凸包（absolute convex hull）嘅概念，佢係裝住$S$嘅最細絕對凸集，亦都可以寫做裝住$S$嘅所有絕對凸集嘅相交。

定義

淺灰色嘅區域係深灰色十字嘅絕對凸包。

假設$S$係一個實/複向量空間嘅一個子集，如果$S$符合下邊幾個等價條件嘅其中一個嘅話就叫一個絕對凸集：

1. $S$係凸集同埋平衡集；
2. 對任何純量$a$同$b$，$|a|+|b|\leq 1$嘅話都有$aS+bS\subset S$；
3. 對任何純量$a$、$b$同$c$，$|a|+|b|\leq |c|$嘅話都有$aS+bS\subset cS$；
4. 對任何純量$a_{1},\ldots ,a_{n}$，如果$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\leq 1$嘅話，就有$a_{1}S+\ldots +a_{n}S\subset S$；
5. 對任何純量$c,a_{1},\ldots ,a_{n}$，如果$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\leq |c|$嘅話，就有$a_{1}S+\ldots +a_{n}S\subset cS$

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