Γ 函數,亦叫做伽瑪函數(Gamma函數),喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。

定義

Γ 函數嘅定義係:

 

呢個積分喺實數   時係絕對收斂,亦可以考慮  複數嘅情形,呢個時候要求  

無窮乘積

Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示:

 
 

其中   就係歐拉常數

Gamma積分

 

 

遞歸公式

Γ 函數嘅遞歸公式係:

 

對於正整數 n,有

 

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

推導遞歸公式

 

分部積分法嚟計呢個積分:

 

當 x = 0 時, 。當 x 趨於無窮大時,根據洛必達法則,有:

 .

因此第一項 變咗零,所以:

 

等式嘅右面啱啱就係n 。所以遞歸公式係:

 

重要性質

 
Γ 函數喺實軸上嘅函數圖形
  •  時, 
  • 歐拉反射公式:
 
由上面條式可以知道當 z = 1/2 時, 
  • 乘法定理:
 
 
  • 補充:
 
呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。

特殊值

 

斯特靈公式

斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度。

解析延拓

 
Γ 函數嘅絕對值函數圖形

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞   嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在,而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

 

並注意到函數   係成個複平面上有解析延拓,我地可以喺   時設

 

從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數,佢喺   有單極點,留數係

 

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