Γ 函數,亦叫做伽瑪函數(英文:Gamma function),係一個將階乘推廣到複數上嘅方法。Γ 函數係一個亞純函數,喺複平面上面除咗0同埋負整數,其他地方都係有定義嘅。佢喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。對任何嘅正整數,都有

無窮乘積改
Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示:
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其中 就係歐拉常數。
Gamma積分改
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遞歸公式改
Γ 函數嘅遞歸公式係:
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對於正整數 n,有
-
可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。
推導遞歸公式改
用分部積分法嚟計呢個積分:
當 x = 0 時, 。當 x 趨於無窮大時,根據洛必達法則,有:
.
因此第一項 變咗零,所以:
等式嘅右面啱啱就係n 。所以遞歸公式係:
- 。
重要性質改
- 當 時,
- 歐拉反射公式:
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- 由上面條式可以知道當 z = 1/2 時, 。
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- 呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。
特殊值改
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斯特靈公式改
斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度:
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