Γ函數

Γ 函數，亦叫做伽瑪函數（Gamma函數），喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。

定義

Γ 函數嘅定義係：

$\Gamma (z)={\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t\quad (t>0)\end{matrix}}$

呢個積分喺實數 $z>0$ 時係絕對收斂，亦可以考慮 $z$ 係複數嘅情形，呢個時候要求 $\mathrm {Re} (z)>0$。

無窮乘積

Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示：

$\Gamma (z)=\lim _{n\to {+\infty }}{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}$

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$

其中 $\gamma$ 就係歐拉常數。

Gamma積分

$1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}\lambda ^{\alpha }e^{\left(-\lambda x\right)}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}dx$

$\Rightarrow {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}dx$

遞歸公式

Γ 函數嘅遞歸公式係：

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$

對於正整數 n，有

$\Gamma (n+1)=n!$

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

推導遞歸公式

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx$

用分部積分法嚟計呢個積分：

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

當 x = 0 時，${\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0$。當 x 趨於無窮大時，根據洛必達法則，有：

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{e^{x}}}=0$.

因此第一項$\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$變咗零，所以：

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

等式嘅右面啱啱就係n$\Gamma (n)$。所以遞歸公式係：

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)$。

重要性質

Γ 函數喺實軸上嘅函數圖形

• 當$z\to 0^{+}$時，$\Gamma (z)\to +\infty$
• 歐拉反射公式：

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

由上面條式可以知道當 z = 1/2 時，$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$。

• 乘法定理：

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).$

• 補充：

$\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}$

呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。

特殊值

${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

斯特靈公式

斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度。

解析延拓

Γ 函數嘅絕對值函數圖形

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 $z$ 嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在，而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

並注意到函數 $\sin(\pi z)$ 係成個複平面上有解析延拓，我地可以喺 $\mathrm {Re} (z)<1$ 時設

$\Gamma (z):={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}$

從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數，佢喺 $z=0,-1,-2,-3\cdots$ 有單極點，留數係

$\mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}$

睇埋

• 雙伽瑪函數
• 多伽瑪函數
• 階乘
• 機率密度函數

出面網頁

• GAMMA 函數嘅性質