複數

數學上複數係一個用

$a+bi$ (直角座標表示法)　或　$re^{i\theta }$ (極座標表示法)

表示嘅數。響呢度，$a$同$b$都係實數，而$i$係單位虛數，滿足：

$i^{2}=-1$。

$a$叫複數嘅實部，而$b$叫做虛部。當$b=0$嗰陣，個數就係$a$，即係實數；$b$≠$0$嘅話，就叫虛數；如果$a=0$而$b$≠$0$，就叫純虛數。

畀個例，$3+2i$係複數（亦係虛數），而實部係$3$，虛部係$2$；$2i$係純虛數。

$r$係半徑，$\theta$係傾角。當傾角等於$180$° 嘅倍數時，係一個實數；而其他角度時($r$≠0)就係虛數。

複數可以加、減、乘、除，同實數一樣，不過就有深刻啲嘅特性。例如，唔係每個實系數多項式都有實數根（簡稱實根），而複數根（簡稱複根）就個個都有（睇代數基本定理）。

性質

• 虛數冇得比較大細。
• 共軛複數係指兩個複數嘅實部一樣，而虛部互為反數，即係 $a+bi$ 同 $a-bi$；或者半徑一樣，傾角相反，即係 $re^{i\theta }$ 同 $re^{-i\theta }$。

運算法則

兩個複數進行運算時嘅法則如下：

• 加減：$(a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i$
• 乘法：$(a+bi)\times (x+yi)=ax+ayi+bxi+byi^{2}=(ax-by)+(ay+bx)i$
• 除法：${{a+bi} \over {x+yi}}={{a+bi} \over {x+yi}}\times {{x-yi} \over {x-yi}}$（有理化分母）

$={{(ax+by)+(bx-ay)i} \over {x^{2}-(yi)^{2}}}={{(ax+by)+(bx-ay)i} \over {x^{2}+y^{2}}}={{{ax+by} \over {x^{2}+y^{2}}}+{{bx-ay} \over {x^{2}+y^{2}}}i}$

極座標嘅乘除比較簡單：

• 乘法：$r_{1}e^{i\theta _{1}}\times r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$
• 除法：${r_{1}e^{i\theta _{1}} \over r_{2}e^{i\theta _{2}}}={r_{1} \over r_{2}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}$

睇埋

• 虛數
• e (數學常數)