保守向量場

保守向量場（conservative vector field）係指一個啱啱好係一個純量場嘅梯度嘅向量場。

定義

如果有一個向量場 ${\vec {u}}$，除咗喺一啲奇點之外，佢有一個相應嘅純量場 $\phi$ 令到 ${\vec {u}}=\nabla \phi$，噉樣 ${\vec {u}}$ 就係一個保守向量場。

特性

• 根據向量微積分恆等式 $\nabla \times \nabla f={\vec {0}}$，任何保守向量場嘅旋度係 ${\vec {0}}$。
• 根據梯度定理，任何保守向量場嘅路徑積分係同路徑冇關嘅，只係取決喺路徑嘅起點同終點。
• 根據梯度定理，任何保守向量場對於封閉曲線嘅路徑積分都係 $0$。（即係 $\oint _{C}{\vec {u}}\cdot d{\vec {r}}=0$）

應用

喺物理入面，因為功嘅定義係 $W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$，所以經過一番運算，可以得到力係位能嘅梯度嘅反向量，即係 ${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}U$。呢個特性除咗係引力場適用，亦都可以用喺電場，喺電場嘅情況下將兩邊一齊除以 $q$（電荷）可以得到關於電勢嘅一條公式：${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$。