梯度定理gradient theorem),係向量微積分裏面嘅一個定理,亦都係微積分基本定理拓展咗之後對於路徑積分嘅一個廣義版本。

定理 編輯

根據梯度定理,如果有一個喺   向量空間嘅連續可微分標量函數  ,對於任何喺   裏面起點係   同埋終點係   嘅曲線  ,有:

 

其中   就係  梯度,係一個向量場

證明 編輯

  裏面嘅所有維度分別叫做  ,所有單位向量分別叫做  ,其中  。噉樣  全微分可以寫做:

 

  裏面梯度嘅定義係:

 

位置向量同佢嘅微分嘅定義分別係:

 

所以有:

 

於是有:

  (積分上下界轉換)

 

證完。

應用 編輯