冪零元
呢篇文講環論入面嘅冪零元。想搵群論入面嘅冪零群嘅話,請睇冪零群。
抽像代數入面,話環 R 嘅元 x 係個「冪零元」,即係話佢嘅某個乘冪係零;換言之,存在正整數 n,令到 xn= x.x.....x (自乘 n次) = 0 ,等於環中零元(即環加法嘅單位元)。
例
編輯- 以下係一個矩陣環中嘅例子。3 階矩陣
- 係一個冪零元,因為A3 = 0。
- 喺商環 Z / 9Z 中,同余類 3 係一個冪零元,因為 32 係同余類 0。
- 如果喺唔交換嘅環 R 入面,a , b滿足 ab=0。咁元素c=ba(如果唔係零嘅話)就係一個冪零元,因為 c2=(ba)2=b(ab)a = 0。喺矩陣當中嘅一個例子如下:
- 於是有 .
性質
編輯喺一個非平凡嘅交換環當中,冪零元冇可能係乘法嘅可逆元。每個冪零元顯然都係零因子。
在交換環中,所有嘅冪零元組成一個理想,叫做呢個環的詣零根( Nilradical)。每個素理想都包含所有嘅冪零元,實際上所有素理想嘅交集就係環嘅詣零根。
如果 x 係冪零元,咁 1 − x就係一個可逆元,因為由 xn = 0 可以得出
- (1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。