冪零矩陣

冪零矩陣（英文：nilpotent matrix）係一種n×n嘅方塊矩陣M，存在某個正整數q，符合以下等式：

$M^{q}=0\,$

同樣道理冪零轉換係一種線性轉換L，存在某個整數q，符合$L^{q}=0$。

冪零元係冪零矩陣嘅推廣，不單只可以用嚟講矩陣同線性轉換，亦都可以講其他環嘅元素。

例子

考慮以下矩陣：

$N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

呢個係一個4×4冪零矩陣嘅例子，可以留意吓非零嘅超對角線。呢個矩陣嘅性質係：

$N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

超對角線不斷「褪」向右上角，直到完全消失，得到零矩陣。

對應嘅冪零轉換L : R⁴ → R⁴可以咁樣定義：

$L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0)\$

有一個分類定理證明呢類矩陣係典型嘅：冪零矩陣可以用相似關係轉做一種分塊矩陣，對角線上面嘅區塊係上邊嘅$N$呢種類型嘅矩陣，而其它區塊係零。

性質

設M係n×n冪零矩陣。

• 滿足M^q = 0嘅最細整數q小於或等於n。
• 喺代數封閉體上，矩陣M係冪零，若且唯若佢嘅所有特徵值係零。因此，M嘅行列式同跡都係零，一定係奇異方陣。
• 假設A同B係兩個矩陣。如果A係可逆矩陣，咁$A^{-1}B$係冪零矩陣，若且唯若$\det(A+tB)$同t無關。因為：

$\det(A+tB)=\det A\cdot \det(I+tA^{-1}B)=\det A\cdot \prod _{k}(1+\lambda _{k}t)$

其中$\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$係$A^{-1}B$嘅特徵值。

• M嘅特徵多項式係λⁿ。
• 每一個嚴格嘅上三角矩陣或下三角矩陣都係冪零矩陣。
• 每一個奇異方陣都可以寫成幾個冪零矩陣乘埋。

分類定理

以上嘅例子係典型嘅，咁係因為以下嘅結果。每一個冪零矩陣都同以下嘅分塊矩陣相似：

${\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}$

其中區塊喺超對角線上係一，其它地方係零：

$N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}$

呢一點可以由若爾當標準形，同埋每一個同冪零矩陣相似嘅矩陣都係冪零嘅事實推出。

出面連結

• PlanetMath上嘅冪零矩陣 Wayback Machine嘅版面存檔備份同冪零變換 Wayback Machine嘅版面存檔備份。