卓越數

喺數論入面，卓越數係正因數個數係完全數，正因數嘅和（包括佢嘅本身）亦都係完全數嘅數^[1]。

$12$ 係最小嘅卓越數，而佢個正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12，正因數個數係 $6$ ，係一個完全數。而正因數嘅和係 $1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28$ ，係另一個完全數。

目前已經知道嘅卓越數只得兩個，分別係 $12$ 同埋 $(2 126)(2 61 - 1)(2 31 - 1)(2 19 - 1)(2 7 - 1)(2 5 - 1)(2 3 - 1)$ （OEIS數列A081357）^[2]。第二個卓越數總共有76位數：

6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264

佢哋正因數嘅個數係 $(126+1)2 6 = (2 7 -1)2 6 = 8128$ ，係第4個完全數正因數嘅和係 ${{{1}}}$ ， $2127 -1$ 係第12個梅森質數，如果 $2 n -1$ 係梅森素數，咁 $(2 n -1)2 n-1$ 就係完全數。

參考

↑ MathPages article, "Sublime Numbers"
↑ Clifford A. Pickover, Wonders of Numbers, Adventures in Mathematics, Mind and Meaning New York: Oxford University Press (2003): 215