梅森質數
梅森數係指形如嘅數,記做;如果一個梅森數係質數咁佢稱為梅森質數(英文:Mersenne prime)。
截至2024年10月,已知嘅梅森質數共有52個。已知最大嘅梅森質數係。由1997年到而家,所有新嘅梅森質數都係由互聯網梅森質數大搜索(GIMPS)分布式計算項目發現嘅。
相關命題同定理
編輯梅森數同梅森質數嘅性質
編輯- 。
- q ≡ 3 mod 4為質數。則 2q+1係質數 嘅充分必要條件系 2q+1整除Mq,因此對於呢啲質數q(除咗3),Mq唔可能會係質數,前幾個咁嘅質數q為11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491, 659, 683, 719, 743, 911, 1019, 1031, 1103, 1223, 1439, 1451, 1499, ... (OEIS數列A002515)
- 如果p係奇質數,咁任何能整除2p − 1嘅質數q都一定係1加上一個2p嘅倍數。例如,211 − 1 = 23×89,而23 = 1 + 2×11,89 = 1 + 8×11。
- 如果p係奇質數,咁任何能整除 嘅質數q都一定同 同除,因為2係模 和質數q嘅二次剩餘。
梅森數和梅森素數嘅關系
編輯下面嘅命題關注乜樣嘅梅森數系梅森素數。
- 由 知:q系素數系Mq系素數嘅必要條件。但呢唔係充分嘅。M11 = 211 − 1 = 23 × 89系個反例。
- 對Mq(q系素數)有:
- 若a系Mq嘅因數,則a有如下性質:
- a ≡ 1 mod 2q
- a ≡ ±1 mod 8
- 歐拉嘅一個關於形如1+6k嘅數嘅理論表明:Mq系素數當且僅當存在數對(x,y)使得Mq = (2x)2 + 3(3y)2,其中q ≥ 5。
- Reix發現q > 3時,Mq可以寫成:Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。顯然,若存在一個數對(x,y),咁Mq系素數。
- 若a系Mq嘅因數,則a有如下性質:
梅森數嘅素數檢驗
編輯- Mn為素數當且僅當Mn整除Sn -2(S0=4,Sk = S 2k − 1 − 2,k > 0),此數列為4, 14, 194, 37634, 1416317954, 2005956546822746114, 4023861667741036022825635656102100994, ... (OEIS數列A003010)
與完全數嘅關系
編輯相關問題同估想
編輯- 係咪有冇窮多個梅森質數。
- 梅森質數點樣分佈。
梅森質數對應指數位數分布
編輯位數/起始數字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 總計 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1位數 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | |||||
2位數 | 3 | 1 | 1 | 1 | 6 | |||||
3位數 | 2 | 1 | 1 | 4 | ||||||
4位數 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 8 | ||||
5位數 | 2 | 2 | 1 | 1 | 6 | |||||
6位數 | 2 | 1 | 1 | 1 | 5 | |||||
7位數 | 2 | 1 | 1 | 1 | 5 | |||||
8位數 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | 13 | ||
9位數 | 1 | 1 |
梅森質數一覽
編輯梅森遺漏嘅梅森質數
GIMPS發現嘅梅森質數
古代知嘅梅森質數
以試除法發現嘅梅森質數
拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現嘅梅森質數
亞歷山大·赫維茲發現嘅梅森質數
Donald B. Gillies發現嘅梅森質數
Walt Colquitt & Luke Welsh發現嘅梅森質數
拜仁特·塔克曼發現嘅梅森質數
下面表中列出晒所有已知嘅梅森質數:(OEIS數列A000668)
# | n | Mn | Mn嘅位數 | 發現日期 | 發現者 | 算法 |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 1 | 公元前5世紀 | 古希臘數學家 | |
2 | 3 | 7 | 1 | 公元前5世紀 | 古希臘數學家 | |
3 | 5 | 31 | 2 | 公元前3世紀 | 古希臘數學家 | |
4 | 7 | 127 | 3 | 公元前3世紀 | 古希臘數學家 | |
5 | 13 | 8191 | 4 | 1456年 | 無名氏 | 試除法 |
6 | 17 | 131071 | 6 | 1588年 | 彼得·羅卡塔爾迪 | 試除法 |
7 | 19 | 524287 | 6 | 1588年 | 彼得·羅卡塔爾迪 | 試除法 |
8 | 31 | 2147483647 | 10 | 1772年 | 歐拉 | 優化嘅試除法 |
9 | 61 | 2305843009213693951 | 19 | 1883年 | Ivan Mikheevich Pervushin | 盧卡斯數列 |
10 | 89 | 618970019642690137449562111 | 27 | 1911年 | Ralph Ernest Powers | 盧卡斯數列 |
11 | 107 | 162259276829213363391578010288127 | 33 | 1914年 | Ralph Ernest Powers | 盧卡斯數列 |
12 | 127 | 170141183460469231731687303715884105727 | 39 | 1876年 | 爱德華·盧卡斯 | 盧卡斯數列 |
13 | 521 | 686479766013…291115057151 | 157 | 1952年1月30日 | 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
14 | 607 | 531137992816…219031728127 | 183 | 1952年1月30日 | 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
15 | 1,279 | 104079321946…703168729087 | 386 | 1952年6月25日 | 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
16 | 2,203 | 147597991521…686697771007 | 664 | 1952年10月7日 | 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
17 | 2,281 | 446087557183…418132836351 | 687 | 1952年10月9日 | 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
18 | 3,217 | 259117086013…362909315071 | 969 | 1957年9月8日 | Hans Riesel | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
19 | 4,253 | 190797007524…815350484991 | 1,281 | 1961年11月3日 | 亞歷山大·赫維茲 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
20 | 4,423 | 285542542228…902608580607 | 1,332 | 1961年11月3日 | 亞歷山大·赫維茲 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
21 | 9,689 | 478220278805…826225754111 | 2,917 | 1963年5月11日 | Donald B. Gillies | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
22 | 9,941 | 346088282490…883789463551 | 2,993 | 1963年5月16日 | Donald B. Gillies | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
23 | 11,213 | 281411201369…087696392191 | 3,376 | 1963年6月2日 | Donald B. Gillies | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
24 | 19,937 | 431542479738…030968041471 | 6,002 | 1971年3月4日 | 拜仁特·塔克曼 | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
25 | 21,701 | 448679166119…353511882751 | 6,533 | 1978年10月30日 | Landon Curt Noll & Laura Nickel | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
26 | 23,209 | 402874115778…523779264511 | 6,987 | 1979年2月9日 | Landon Curt Noll | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
27 | 44,497 | 854509824303…961011228671 | 13,395 | 1979年4月8日 | Harry Nelson & David Slowinski | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
28 | 86,243 | 536927995502…209433438207 | 25,962 | 1982年9月25日 | David Slowinski | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
29 | 110,503 | 521928313341…083465515007 | 33,265 | 1988年1月28日 | Walt Colquitt & Luke Welsh | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
30 | 132,049 | 512740276269…455730061311 | 39,751 | 1983年9月20日 | David Slowinski | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
31 | 216,091 | 746093103064…103815528447 | 65,050 | 1985年9月6日 | David Slowinski | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
32 | 756,839 | 174135906820…328544677887 | 227,832 | 1992年2月19日 | David Slowinski & Paul Gage | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
33 | 859,433 | 129498125604…243500142591 | 258,716 | 1994年1月10日 | David Slowinski & Paul Gage | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
34 | 1,257,787 | 412245773621…976089366527 | 378,632 | 1996年9月3日 | David Slowinski & Paul Gage | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
35 | 1,398,269 | 814717564412…868451315711 | 420,921 | 1996年11月13日 | GIMPS/Joel Armengaud | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
36 | 2,976,221 | 623340076248…743729201151 | 895,932 | 1997年8月24日 | GIMPS/Gordon Spence | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
37 | 3,021,377 | 127411683030…973024694271 | 909,526 | 1998年1月27日 | GIMPS/Roland Clarkson | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
38 | 6,972,593 | 437075744127…142924193791 | 2,098,960 | 1999年6月1日 | GIMPS/Nayan Hajratwala | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
39 | 13,466,917 | 924947738006…470256259071 | 4,053,946 | 2001年11月14日 | GIMPS/Michael Cameron | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
40 | 20,996,011 | 125976895450…762855682047 | 6,320,430 | 2003年11月17日 | GIMPS/Michael Shafer | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
41 | 24,036,583 | 299410429404…882733969407 | 7,235,733 | 2004年5月15日 | GIMPS/Josh Findley | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
42 | 25,964,951 | 122164630061…280577077247 | 7,816,230 | 2005年2月18日 | GIMPS/Martin Nowak | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
43 | 30,402,457 | 315416475618…411652943871 | 9,152,052 | 2005年12月15日 | GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
44 | 32,582,657 | 124575026015…154053967871 | 9,808,358 | 2006年9月4日 | GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
45 | 37,156,667 | 202254406890…022308220927 | 11,185,272 | 2008年9月6日 | GIMPS/Hans-Michael Elvenich | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
46 | 42,643,801 | 169873516452…765562314751 | 12,837,064 | 2009年4月12日 | GIMPS/Odd M. Strindmo | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
47 | 43,112,609 | 316470269330…166697152511 | 12,978,189 | 2008年8月23日 | GIMPS/Edson Smith | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
48 | 57,885,161 | 581887266232…071724285951 | 17,425,170 | 2013年1月25日 | GIMPS/Curtis Cooper | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
49* | 74,207,281 | 300376418084…391086436351 | 22,338,618 | 2015年9月17日 | GIMPS/Curtis Cooper | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
50* | 77,232,917 | 467333183359…069762179071 | 23,249,425 | 2017年12月26日 | GIMPS/Jon Pace | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
51* | 82,589,933 | 148894445742…325217902591 | 24,862,048 | 2018年12月7日 | GIMPS/Patrick Laroche | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
52* | 136,279,841 | 881694327503…219486871551 | 41,024,320 | 2024年10月21日 | GIMPS/Luke Durant | 盧卡斯-萊默檢驗法 |
注:依家重未知喺第48個梅森質數(M57885161)同第52個(M136279841)之間有冇未知梅森質數,所以喺其序號之前用*標出。
出面網頁
編輯- (英文)Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS計劃
- (英文)Mersenne Primes: History, Theorems and Lists 梅森素數:歷史,定理,以及梅森質數一覽