可交換質數

可交換質數（permutable prime）係指一個質數，喺特定進制下嘅各位數字可以任意交換位置，個結果依然係質數。數學家Hans-Egon Richert最早研究呢類嘅質數，命名為可交換質數^[1]，不過呢類質數亦被稱為絕對質數（absolute primes）^[2]。

以下係十進制下所有已知嘅，少於49081位嘅可交換質數（OEIS數列A003459）：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R₁₉ (1111111111111111111), R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁。

下兩個可交換質數（可能偽質數）係R₄₉₀₈₁同埋R₈₆₄₅₃。

以上有啲質數嘅數字相同，只係位置唔同，例如13同埋31，若果呢類由同一質數交換位置所得嘅質數只用一個作為代表，咁只有16組可交換質數（OEIS數列A258706）：

2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁.

其中R_n = ${\tfrac {10^{n}-1}{9}}$ 係循環單位，係由n個1組成嘅（十進位）數字。循環單位嘅質數係可交換質數，不過亦都有人定義可交換質數入面必須包括至少兩個唔同嘅數字，呢個定義下循環單位嘅質數就唔係可交換質數^[3]，呢個定義下可交換質數，喺十進制入面最大係991。

所有超過1位數嘅可交換質數都係由1、3、7、9數字組成，唔包括所有偶數及5，因為若果出現呢啲數字，呢啲數字喺交換位置後可能會喺個位數，而超過1位數嘅數字，若個位數係偶數或者5，一定唔係質數。已有數字家證明冇任一個可交換質數中有1、3、7、9中嘅三個數字，亦冇任一個可交換質數其中有1、3、7、9中嘅二個數字，而且每個數字出現唔止一次。

對於3 < n < 6·10¹⁷⁵嘅正整數n，唔存在n位數且唔係循環單位嘅可交換質數^[1]。目前猜想除咗上述數字外，唔存在其他嘅可交換質數。喺二進制入面，只有循環單位先有可能係可交換質數，因爲若果任何一位數係0，呢個0交換位置到最末位嘅時候，數字係合成數，唔係質數。因此二進制嘅可交換質數即為梅森素數。呢個概念可以延伸到其他進位制中，一位數嘅質數必定係可交換質數，而超過一位數可交換質數嘅各位數字一定係由同進位制基數互質嘅數組成。

參考

↑ ^1.0 ^1.1 H. E. Richert, "On permutable primtall," Norsk Matematiske Tiddskrift 33 (1951), 50–54.
↑ T. Bhargava & P. Doyle, "On the existence of absolute primes," Math. Mag. 47 (1974), 233.
↑ Chris Caldwell, The Prime Glossary: permutable prime at The Prime Pages.

睇埋

[Richert-1] 1.0 ^1.1 H. E. Richert, "On permutable primtall," Norsk Matematiske Tiddskrift 33 (1951), 50–54.

[2] T. Bhargava & P. Doyle, "On the existence of absolute primes," Math. Mag. 47 (1974), 233.

[3] Chris Caldwell, The Prime Glossary: permutable prime at The Prime Pages.

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