泰勒級數(又叫泰勒展開式,英文係Taylor Series)係將光滑函數展開為多項式嘅方法。其中一個好處係,容易做微積分

定義

  喺參考點   嘅泰勒展開式:

 

  嗰陣,又叫麥克勞林級數

例子

  •  
  •  
  •  

證明

假設一個函數可以寫做無限項嘅多項式:

 
 

將函數微分1階:

 
 

2階微分:

 
 

3階微分:

 
 

k階微分:

 
 

n階微分:

 
 

所以原函數   每項嘅係數可以寫做:

 

再配返每項嘅變數可以寫做:

 

所以原函數可以寫做:

  (麥克勞林級數)

另外,令    向右平移   個單位:

  (泰勒級數)