相似矩陣

線性代數裏頭對於兩個n × n矩陣$\mathbf {A}$同$\mathbf {B}$，存在有一n × n可逆矩陣$\mathbf {P}$令到$\mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P}$嘅話，噉A同B互相爲相似矩陣。

呢種$\mathbf {A} \mapsto \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P}$變換叫做矩陣$\mathbf {A}$嘅相似轉換，又叫共軛。喺一般線性羣，相似性同共軛類相同，啲相似矩陣都得叫做共軛；但喺佢一給定子羣H當中，共軛嘅概念可能相較於相似性會有多啲限制，因為要求個$\mathbf {P}$要喺子羣H之中揀。

從線性變換代表嘅意義嚟講，$\mathbf {A} \mathbf {x}$代表喺一個坐標系內對$\mathbf {x}$ 做$\mathbf {A}$變換；而$\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} \mathbf {x}$就相當於$\mathbf {A}$戥$\mathbf {x}$唔係一個體系（坐標基）當中描述嘅，攞$\mathbf {P}$做唨噉嘅變換之後可以好似$\mathbf {A} \mathbf {x}$噉喺一個體系內攞$\mathbf {A}$嚟幫$\mathbf {x}$做變換。$\mathbf {P} \mathbf {x}$代表轉原有嘅坐標基去第個基度、嚟令到啲$\mathbf {x}$可以啱返個應有嘅向量畀$\mathbf {A}$處理；經過$\mathbf {A}$處理之後再攞$\mathbf {P} ^{-1}$轉返原來個基度。攞語言嚟比喻就係幫客家人暢錢，聽到客家話「gim1」（$\mathbf {x}$）即按照「對應規律」（$\mathbf {P}$，呢度只涉及「i>a，2>4」）理解成粵語「gam1」（金），「暢」（$\mathbf {A}$）成銀之後再將「ngan4」逆轉（$\mathbf {P} ^{-1}$）返客家話「ngin2」噉。從客家人嘅角度嚟睇，「gim1」到「ngin2」（即$\mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P}$）即係粵語嘅暢錢（$\mathbf {A}$），只不過可能唔似粵語叫做「暢」啫。當中需要改變嘅係自己理解同埋生成啲語音信號嘅方式（$\mathbf {P}$，$\mathbf {P} ^{-1}$），即改變自己個「基底」嚟啱返啲人客；一唔係就會錯解啲「gim1」音成「兼」。