矩陣

矩陣（英文：matrix，眾數matrices）係線性代數入面其中一個基本概念。矩陣可以用嚟表示一個線性映射（linear transformation）。

一個$m\times n$矩陣，有$m$個橫行、$n$個直行。每一個元素用雙下標嘅變數嚟表示，例如$a_{1,2}$咁，就係第一橫行第二直行嘅元素。如果唔會造成誤會，可以連逗號都唔寫：$a_{12}$

一個$m\times n$嘅矩陣係一個由$m$行$n$列元素排列成嘅矩形陣列，元素可以係數字、符號或者數式。下面係個$2\times 3$嘅矩陣：

$${\begin{bmatrix}2&3&4\\1&2&3\\\end{bmatrix}}$$

矩陣喺電腦科學、工程學、物理學入面都有好重要嘅作用。

喺電腦科學上，「矩陣」最廣義可以泛指 2D 嘅陣列。

定義

一個矩陣係由一啲元素組成嘅方型矩陣。

矩陣入面嘅嘢係叫元素（Elements），佢哋會排成橫行（horizontal rows）同直行（vertical columns）。

喺中國大陸，橫向嘅元素係叫「行」，縱向嘅係叫「列」；而喺台灣就係相反。

例子

買T恤嘅例子：如果紅色嘅要$3$件中碼、$1$件大碼；黃色嘅要$9$件細碼、$5$件中碼；綠色嘅要$9$件細碼、$5$件中碼；藍色就要$1$件中碼；紫色就要$1$件大碼。咁就以上嘅資料，就可以寫成以下呢個矩陣。

$$S={\begin{bmatrix}0&9&9&0&0\\3&5&5&1&0\\1&0&0&0&1\end{bmatrix}}$$

基本嘅樣

一個$m\times n$矩陣$A$（m by n matrix），係呢個樣：

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

$A$入面嘅元素$a_{ij}$，$ij$係$a_{ij}$嘅置數（index，indices）代表住$a_{ij}$係$A$入面嘅第$i$行第$j$棟。

基數

矩陣嘅基數（order）係指個矩陣會有幾大。一個$m\times n$嘅矩陣係一個由$m$列$n$行元素排列成；而$m\times n$就係呢個矩陣嘅基數。

例子

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{bmatrix}}$

咁矩陣$A$嘅基數就係$2\times 3$。

單位矩陣

單位矩陣（identity matrix，通常用I或E表示）係一種正方形矩陣，主對角線上面嘅元素全部係 $1$ ，其他位置全部係 $0$。例如：

$I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\ ,\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\ ,\ I_{4}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

任何矩陣(A)同單位矩陣乘埋(如果可以乘)都會等於自己本身。即係：

$A_{m\times n}I_{n}=A_{m\times n}\ ,\ I_{m}A_{m\times n}=A_{m\times n}$

可見單位矩陣就好似數字嘅1噉。

零矩陣

零矩陣，即係所有元素都係0嘅矩陣，通常用大階O代表。例如：

$O_{1,2}={\begin{bmatrix}0&0\\\end{bmatrix}}\ ,\ O_{3,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}\ ,\ O_{2,4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

零矩陣同任何矩陣(A)乘埋(如果可以乘)都會等於零矩陣。即係：

$OA=O\ ,\ AO=O$

任何矩陣(A)同零矩陣加埋(如果可以加)都會等於自己本身。即係：

$A+O=A\ ,\ O+A=A$

可見零矩陣就好似數字嘅0噉。

對角元素同方型矩陣

一個$m\times n$嘅矩陣入面，第$(1,1),(2,2),(3,3),\cdots$嘅元素就係叫做對角元素（diagonal element）。

用數學形式寫，就係所有嘅$[a_{ii}]$嘅元素。

係一個$m\times n$嘅矩陣睇，所有嘅$[a_{ii}]$嘅元素就係矩陣由左上到右下條對角線上面嘅元素。

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

如果一個矩陣，佢嘅基數係$n\times n$。咁呢個矩陣就係一個正方形。

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$

咁$a_{11},a_{22},a_{33},\cdots ,a_{nn}$就會係呢個矩陣嘅對角線（Diagonal）。

運算

加法，只須要對位運算。好似噉：

${\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\\\end{bmatrix}}\ +\ {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}a+1&d+4\\b+2&e+5\\c+3&f+6\\\end{bmatrix}}$

矩陣乘法係左橫乘右棟。就好似：

${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\\\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}e&g\\f&h\\\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}ae+cf&ag+ch\\be+df&bg+dh\\\end{bmatrix}}$

睇埋

• 矩陣運算
• 矩陣約簡法
• 線性方程系統
• 向量