笛卡兒積係一種集合之間嘅運算,又叫做直積。
我哋可以用一個表嚟表示笛卡兒積 A × B {\displaystyle A\times B} ,當中 A {\displaystyle A} 同 B {\displaystyle B} 分別係行同埋列,如果 a ∈ A , b ∈ B {\displaystyle a\in A,b\in B} 嘅話,第 a {\displaystyle a} 行 b {\displaystyle b} 列嗰一格就係填二元有序對 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 喇。
設X同Y係兩個集合,噉X同Y嘅笛卡兒積就係:
X × Y = { ( x , y ) | x ∈ X ∧ y ∈ Y } {\displaystyle X\times Y=\{(x,y)|x\in X\land y\in Y\}}
或者講,兩個集合嘅笛卡兒積包括咗所有滿足下列條件嘅二元有序對:呢啲有序對當中每一個嘅第一個對象屬于第一個集合,而第二個對象屬于第二個集合。
當 X ≠ Y {\displaystyle X\neq Y} 嘅時候,嚴格嚟講 X × Y {\displaystyle X\times Y} 同 Y × X {\displaystyle Y\times X} 唔相等,但係佢哋之間有自然嘅一一對應: ( x , y ) ↔ ( y , x ) {\displaystyle (x,y)\leftrightarrow (y,x)} 。
當 X = Y {\displaystyle X=Y} 嘅時候,可以將 X × X {\displaystyle X\times X} 簡寫成 X 2 {\displaystyle X^{2}} 。
{ 1 , 2 } × { 3 , 4 } = { ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) } {\displaystyle \{1,2\}\times \{3,4\}=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}}
用R表示實數集,則R2表示所有嘅實二元數對,亦可以直觀噉認為表示成個笛卡兒坐標平面。