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實數(Real numbers)係個完備有序域(complete ordered field),係有理數域嘅完備化(completion),係複數域子域(實數就係虛部(imaginary part)係嘅複數);實數可以用戴德金分割(Dedekind cut)定義;每個實數都係一列有理數嘅極限,直觀、應用上,一個實數可以用有限或者無限嘅小數表示。數學家會用「」嚟表示實數集,即係所有實數。

實數包含有理數之外嘅數叫無理數,包括圓周率等等。

實數係日常生活都會見到嘅數字,所以通常嚟講,多數會直接用數字嚟形容實數。

代數性質

 包括咗十條對應加法乘法嘅代數性質,一般會稱為「十戒」。頭四條係對應加法,中間四條係對應乘法

  1.  。意思係,加法次序唔影響結果。
  2.  。意思係,三個實數嘅加法次序唔影響結果。
  3.  使到 。意思係,任何嘢加零,都唔會改變原本嗰樣嘢。而呢個零係一定喺 入面。
  4. 每一個對應嘅  使到 。意思係,任何一個數,都會搵到一個對應嘅數,兩個加埋會變做零。
  5.  。意思係,乘法次序唔影響結果。
  6.  。意思係,三個實數嘅乘法次序唔影響結果。
  7.  使到 。意思係,一定有一個「一」係 入面,令到任何嘢乘佢都係等於自己。
  8. 每一個對應嘅非零  使到 。意思係,一個實數一定會有一個對應嘅實數,之後佢哋兩個乘埋就係一。
  9.  同埋 
  10.  

代數性質嘅推論

推論一

如果有兩個數字 係符合 ,咁即係可以得出 

證明:

 

以上嘅證明只可以利用代數性質嘅十條定理嚟做,唔可以用平時處理加乘嘅習慣嚟做。

呢個證明嘅意義,係證明只有零先可以做到上面題及嘅嘢。

推論二

如果有兩個數字 係符合 同埋 ,咁即係得出 

證明:

 

同一個原理,唔可以用平時嘅習慣處理。

呢個證明證明,只有一先可以做到上面題及嘅嘢。

推論三

如果 ,咁樣 

證明:

 

再利用推論一嘅結果, 

呢個證明嘅意義在於,佢證明咗咩嘢乘零都會等於零。

推論四

如果 符合 同埋 ,咁得出 

證明:

 

就係因為呢個證明,先可以進行到除法

推論五

如果 符合 ,之後得出 或者 

證明:

假設 。(想要證出 。)

 

排序性質

內文: 不等式

排序性質(Order Properties)係 其中一個性質。佢係嚟自於三叉性質(Trichotomy Proporties),就係因為三叉定理, 先會有不等式。

三叉性質

考慮  嘅一個子集, 係一個整實數嘅子集,然後 符合以下三項特性:

  • 如果 ,咁樣 
  • 如果 ,咁樣 
  • 所有 入面嘅元素,叫 ,都係必定符合以下其中一項。
    •  
    •  
    •  

因為呢個三叉性質, 入面嘅數字可以分做正數、負數同埋零。就係因為噉,所以產生咗不等式。從而 入面嘅數字有大細之分。

完全性質

內文: 界限 (數學)

完全性質(Completeness Property)係 嘅最終性質,意思只係「 係俾數字填滿」。舉個例,喺  中間有無限咁多個數字。換句話講,你唔會搵到有兩個數字之間係無數字。

完全性質可以由好多唔同方面去證明,其中一個係嚟自完備。完全性質指明:「任何一個實數集,如果佢有上限,就一定有一個最小上限。」因為咁,亦到有人叫完全性質做「最小上限性質」(Supremum Property)。

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