實數
實數(粵拼:sat6 sou3,英文:real numbers)係指可以連續噉喺數線上面表達出嚟嘅數,另一個講法係可以寫做(可能無限長嘅)小數嘅數。[1]
實數域係個完備嘅有序域(complete ordered field),係有理數域嘅完備化(completion),係複數域嘅子域(實數就係虛部(imaginary part)係嘅複數);實數可以用戴德金分割(Dedekind cut)定義;每個實數都係一列有理數嘅極限,直觀、應用上,一個實數可以用有限或者無限嘅小數表示。數學家會用「」嚟表示實數集[2],即係所有實數。
實數係日常生活都會見到嘅數字,所以通常嚟講,多數會直接用數字嚟形容實數。
數學嘅數 |
基本 |
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延伸 |
其他 |
圓周率 π = 3.141592653… |
代數性質改
包括咗十條對應加法同乘法嘅代數性質。頭四條係對應加法,中間四條係對應乘法,最後兩條係講加法同乘法之間嘅關係。
- 。意思係,加法次序唔影響結果。
- 。意思係,三個實數嘅加法次序唔影響結果。
- 使到 。意思係,任何嘢加零,都唔會改變原本嗰樣嘢。而呢個零係一定喺 入面。
- 每一個對應嘅 , 使到 。意思係,任何一個數,都會搵到一個對應嘅數,兩個加埋會變做零。
- 。意思係,乘法次序唔影響結果。
- 。意思係,三個實數嘅乘法次序唔影響結果。
- 使到 。意思係,一定有一個「一」係 入面,令到任何嘢乘佢都係等於自己。
- 每一個對應嘅非零 , 使到 。意思係,一個實數一定會有一個對應嘅實數,之後佢哋兩個乘埋就係一。
- 同埋 。
- 。
代數性質嘅推論改
推論一改
如果有兩個數字 係符合 ,咁即係可以得出 。
證明:
。
以上嘅證明只可以利用代數性質嘅十條定理嚟做,唔可以用平時處理加乘嘅習慣嚟做。
呢個證明嘅意義,係證明只有零先可以做到上面題及嘅嘢。
推論二改
如果有兩個數字 係符合 同埋 ,咁即係得出 。
證明:
。
同一個原理,唔可以用平時嘅習慣處理。
呢個證明證明,只有一先可以做到上面題及嘅嘢。
推論三改
如果 ,咁樣 。
證明:
推 。
再利用推論一嘅結果, 。
呢個證明嘅意義在於,佢證明咗咩嘢乘零都會等於零。
推論四改
如果 符合 同埋 ,咁得出 。
證明:
。
就係因為呢個證明,先可以進行到除法。
推論五改
如果 符合 ,之後得出 或者 。
證明:
假設 。(想要證出 。)
排序性質改
排序性質(Order Properties)係 其中一個性質。佢係嚟自於三叉性質(Trichotomy Proporties),就係因為三叉定理, 先會有不等式。
三叉性質改
考慮 係 嘅一個子集, 係一個整實數嘅子集,然後 符合以下三項特性:
- 如果 ,咁樣 。
- 如果 ,咁樣 。
- 所有 入面嘅元素,叫 ,都係必定符合以下其中一項。
因為呢個三叉性質, 入面嘅數字可以分做正數、負數同埋零。就係因為噉,所以產生咗不等式。從而 入面嘅數字有大細之分。
完全性質改
完全性質(Completeness Property)係 嘅最終性質,意思係「 係俾數字填滿」。舉個例,喺 同 中間有無限咁多個數字。換句話講,你唔會搵到有兩個數字之間係無數字。
完全性質可以由好多唔同方面去證明,其中一個係嚟自完備。完全性質指明:「任何一個實數集,如果佢有上限,就一定有一個最小上限。」因為咁,亦到有人叫完全性質做「最小上限性質」(Supremum Property)。
睇埋改
- ↑ "Real number". Oxford Reference. 2011-08-03.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Real Number". mathworld.wolfram.com. 喺2020-08-11搵到.