自我數

自我數也叫哥倫比亞數，系喺畀定進制中，唔得由任何一個整數加上呢個整數嘅各位數字和生成嘅數，稱之為自我數。例如：21唔系自我數，因為21可以由整數15和15嘅各位數字1,5生成，即21＝15＋1＋5。20唔得滿足上述條件，所以佢系自我數。1949年印度數學家D.R. Kaprekar第一次描述呢種數。

開始嘅幾個十進制自我數系：

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525（OEIS數列A003052）

一般嘅，喺偶數為底嘅進制中，所有小於呢個偶數嘅奇數都系自我數，因為呢個進制中所有嘅奇數加上1結果都系偶數。喺奇數為底嘅進制中，所有嘅奇數都系自我數。

下面嘅線性遞推關系式生成十進制嘅自我數：

$C_{k}=8\cdot 10^{k-1}+C_{k-1}+8$

其中C₁ = 9

喺二進制中

$C_{k}=2^{j}+C_{k-1}+1$

j表示呢個數嘅位數。我哋可以生成一個喺以b為底嘅進制中生成自我數嘅線性遞推關系式。

$C_{k}=(b-2)b^{k-1}+C_{k-1}+(b-2)$

其中 C₁ = b - 1適用於偶數為底嘅進制中， C₁ = b - 2適用於奇數為底進制中。

呢個線性遞推關系式嘅存在講明喺任意數為底嘅進制中自我數系無窮嘅。