質數分解域定理 指嘅係「所有單點環倍數域(PID)都係質數分解域(UFD)」(Every PID is UFD.)。呢個定理需要用到兩樣嘢,一樣係「增長單點環倍數 限制」(Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal,ACCPI);同埋「質數= {\displaystyle =} 不可分解數 」(Prime= {\displaystyle =} Irreducible)。
增長單點環倍數限制
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存在質數分解
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設a ∈ D ∖ ( D × ∪ { 0 } ) {\displaystyle a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})} 。證明有一個不可分解數p i {\displaystyle p_{i}} 符合p i | a {\displaystyle p_{i}|a} 。
如果a {\displaystyle a} 係不可分解數,搞掂。
如果唔係,咁就有a 1 , b 1 ∈ D ∖ ( D × ∪ { 0 } ) {\displaystyle a_{1},b_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})} 符合a = a 1 b 1 {\displaystyle a=a_{1}b_{1}} ,如果a 1 , b 1 {\displaystyle a_{1},b_{1}} 都係不可分數,搞掂。
如果都唔係,⟨ a ⟩ ⊊ ⟨ a 1 ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle \subsetneq \langle a_{1}\rangle } ,b ∉ D × {\displaystyle b\notin {\textbf {D}}^{\times }} 。
將以上嘅概念放去a 1 ∈ D ∖ ( D × ∪ { 0 } ) {\displaystyle a_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})} ,因為a 1 {\displaystyle a_{1}} 唔係不可分解數。
咁a 1 = a 2 b 2 {\displaystyle a_{1}=a_{2}b_{2}} ,a 2 , b 2 ∈ D ∖ ( D × ∪ { 0 } ) {\displaystyle a_{2},b_{2}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})} ,如果a 2 {\displaystyle a_{2}} 或者b 2 {\displaystyle b_{2}} 都係不可分解數,搞掂。
繼續呢個步驟,就會有p i {\displaystyle p_{i}} 係一個不可分解數,或者一條增長連鎖⟨ a ⟩ ⊊ ⟨ a 1 ⟩ ⊊ ⟨ a 2 ⟩ ⊊ ⋯ {\displaystyle \langle a\rangle \subsetneq \langle a_{1}\rangle \subsetneq \langle a_{2}\rangle \subsetneq \cdots } 。
因為ACCPI,所以後者係無可能出現。
由上面呢段嘢,可以總結出任何a ∈ D ∖ ( D × ∪ { 0 } ) {\displaystyle a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})} 唔係不可分解數,就都可以有一個不可分解數p 1 {\displaystyle p_{1}} 符合p 1 | a {\displaystyle p_{1}|a} 。
(即係對應一啲b 1 ∈ D ∖ ( D × ∪ { 0 } ) {\displaystyle b_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})} ,a = p 1 b 1 {\displaystyle a=p_{1}b_{1}} )
如果b 1 {\displaystyle b_{1}} 係不可分解數,搞掂。
如果唔係,b 1 = b 2 = p 3 b 3 {\displaystyle b_{1}=b_{2}=p_{3}b_{3}} 同時ACCPI會令到呢個連續嘅行為停止。
總結得知一定有n {\displaystyle n} 咁多b n {\displaystyle b_{n}} 嘅不可分解數,令到a = p 1 p 2 b 2 = p 1 p 2 ⋯ p n b n {\displaystyle a=p_{1}p_{2}b_{2}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}b_{n}} 成立。
而呢個就係a {\displaystyle a} 嘅質數分解。
質數分解獨有性
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如果a = p 1 p 2 ⋯ p m = q 1 q 2 ⋯ q m {\displaystyle a=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}=q_{1}q_{2}\cdots q_{m}} 都係a ∈ D ∖ ( D × ∪ { 0 } ) {\displaystyle a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})} 嘅質數分解。
約到最簡,可以假設n ≥ m {\displaystyle n\geq m} 。
因為不可分解數⟹ {\displaystyle \implies } 質數,p 1 | q 1 q 2 ⋯ q n ⟹ p 1 | q i {\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}\cdots q_{n}\implies p_{1}|q_{i}} ,
將佢排返好,可以叫i = 1 {\displaystyle i=1} ,p 1 | q 1 {\displaystyle p_{1}|q_{1}} ;但係q 1 {\displaystyle q_{1}} 係不可分解數,所以對應一啲u 1 ∈ D × {\displaystyle u_{1}\in {\textbf {D}}^{\times }} ,q 1 = p 1 u 1 {\displaystyle q_{1}=p_{1}u_{1}}
所以p 1 p 2 ⋯ p n = ( p 1 u 1 ) q 2 ⋯ q m {\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}=(p_{1}u_{1})q_{2}\cdots q_{m}} ,
⟹ p 2 ⋯ p n = u 1 q 2 ⋯ q m {\displaystyle \implies p_{2}\cdots p_{n}=u_{1}q_{2}\cdots q_{m}} 。
重覆以上步驟,將p 2 , p 3 ⋯ p n {\displaystyle p_{2},p_{3}\cdots p_{n}} 處理,
⟹ { q i = u i p i i = 1 ⋯ n , u i ∈ D × 1 = u 1 u 2 ⋯ u n q n + 1 ⋯ q m {\displaystyle \implies {\begin{cases}q_{i}=u_{i}p_{i}\quad i=1\cdots n,u_{i}\in {\textbf {D}}^{\times }\\1=u_{1}u_{2}\cdots u_{n}q_{n+1}\cdots q_{m}\end{cases}}} 。
因為每一個q i {\displaystyle q_{i}} 都係不可分解數,加上佢哋唔係單元(Unit),所以m = n {\displaystyle m=n} 。