質數分解域定理指嘅係「所有單點環倍數域(PID)都係質數分解域(UFD)」(Every PID is UFD.)。呢個定理需要用到兩樣嘢,一樣係「增長單點環倍數限制」(Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal,ACCPI);同埋「質數不可分解數」(PrimeIrreducible)。

增長單點環倍數限制

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假設 係一個單點環倍域(Principal Ideal),如果 係一條增長連鎖,咁就會有一個自然數 ,使到 符合 。換句話講, 

呢個性質就係增長單點環倍數限制(Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal, ACCPI)。

證明:

首先,得知 都係 嘅一個環倍數。( 係增長連鎖。)

因為 係單點環倍域,所以對應一啲  ,同時 ,對應一啲 

而家對應  

 

證明

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存在質數分解

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 。證明有一個不可分解數 符合 

如果 係不可分解數,搞掂。

如果唔係,咁就有 符合 ,如果 都係不可分數,搞掂。

如果都唔係,  

將以上嘅概念放去 ,因為 唔係不可分解數。

  ,如果 或者 都係不可分解數,搞掂。

繼續呢個步驟,就會有 係一個不可分解數,或者一條增長連鎖 

因為ACCPI,所以後者係無可能出現。

由上面呢段嘢,可以總結出任何 唔係不可分解數,就都可以有一個不可分解數 符合 

(即係對應一啲  

如果 係不可分解數,搞掂。

如果唔係, 同時ACCPI會令到呢個連續嘅行為停止。

總結得知一定有 咁多 嘅不可分解數,令到 成立。

而呢個就係 嘅質數分解。

質數分解獨有性

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如果 都係 嘅質數分解。

約到最簡,可以假設 

因為不可分解數 質數, 

將佢排返好,可以叫  ;但係 係不可分解數,所以對應一啲  

所以 

 

重覆以上步驟,將 處理,

 

因為每一個 都係不可分解數,加上佢哋唔係單元(Unit),所以 

睇埋

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