阿基米德中點定理

阿基米德中點定理（Archimedes' Midpoint Theorem）說明：圓上面有兩點 A 同 B，M 係弧 AB 嘅中點，隨意揀圓上嘅一點 C，D 係 AC上嘅點使到 $MD\perp AC$ 。

若果 M 同 C 喺弦 AB 異側，即係 AD = DC + BC；

若果 M 同 C 喺弦 AB 同側，即係 AD = DC - CB。

證明

若果係同側：喺線段 $AD$ 上取點 $X$ ，使到 $DX=DC$，由於 $MD\perp AC$，有

$MX=MC$。又因為 M 係弧 $AB$ 嘅中點，所以 $AM=BM$。

同時由圓周角定理得知：

$\angle MAC=\angle MBC$，$\angle ABM=\angle ACM$，

所以 $\angle XMC=2\angle DMC=180^{\circ }-2\angle ACM=180^{\circ }-2\angle ABM=\angle AMB$ ，

所以 $\angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle AMC-\angle AMB=\angle BMC$，

所以 $\triangle AMX\cong \triangle BMC$，

所以 $AX=BC$ ， $AD=AX+XD=DC+CB$ ，命題得到咗證實。

若果係異側：喺線段 AD 延長線上取點 X，使到 DX = AD。

因為 M 係弧 AB 嘅中點，所以 $\angle ACM=\angle BCM$。

又因為四邊形 AMBC 係圓入面接四邊形，所以延長 CB 至 P，則 $\angle MBP=\angle MAC$ 。

但係 AD = DX ，所以 $\angle ADM$ 係直角，所以$\triangle ADM\cong \triangle XDM$ ； $\angle MAC=\angle AXM$ ； $\angle MBP=\angle AXM$ ； $\angle CXM=\angle CBM$ 。

又 CM = CM， 所以 $\triangle CXM\cong \triangle CBM$ 。

承上，所以 CX = CB；所以 AD = DC - CX = DC - CB。

外部連結

• Java 程式 (by Jim Loy)