頂點代數
頂點代數,又叫[1]頂點算子代數(en:Vertex Operator Algebra, VOA) 係共形場論(保角場論)嘅代數結構。其應用包括魔群月光猜想(en:Monstrous moonshine)同埋幾何化朗蘭兹綱領。
1986 年,Richard Borcherds 受二維共形場論中用以插入場之頂點算子啓發,提出頂點算子代數結構。 重要例子有:
- 晶格頂點算子代數(用以研究晶格共形場論),
- 來自仿射Kac-Moody 代數嘅表示嘅頂點算子代數 (用以研究 Wess-Zumino-Witten 模型),
- 來自仿射 Virasoro 代數嘅表示嘅Virasoro 頂點算子代數 (可用以研究極小模型),
- I. Frenkel-J.Lepowsky-A.Meurman(於1988年)構造 嘅月光模(en:Moonshine module)V♮。
定義頂點算子代數嘅各公理抽象自物理學人所謂嘅手徵代數(en:Chiral algebra),其嚴格數學定義由 Beilinson 同埋 Drinfeld 提出。
定義
編輯一嚿頂點代數由以下資料組成:
- 向量空間V,
- 「單位元」1 V ,
- 自態射 T,
- 乘法性映射: 或書作 ;
並滿足以下條件::
- (單位)V中每一元 a,都符合
- and
- (位移) T(1) = 0, 且V中每元a, b, 都符合
- (四頂點函數)V中每元a, b, c , 都符合
此乘法映射常被寫作「狀態——場 對應」(en:state-field correspondence):
- ,
給V中每一向量配上一支以算子為值嘅形式分佈(「頂點算子」);其物理意義係喺原點插入一算子。T則係無窮小位移嘅一粒生成元。 「四頂點函數」公理統一咗(誤差唔過奇異值嘅)結合律與交換律。 位移公理涵蘊 Ta = a-21, 故Y 之值決定了T 之值。
分級頂點代數
編輯一Z+-分級頂點代數係
- 一頂點代數V:
使每a ∈ Vk 與 b ∈ Vm, 符合an b ∈ Vk+m-n-1.
設有一Z+-分級頂點代數. 其一 Virasoro 元 為 V中2 一元 ω , 使頂點算子
符合以下條件: Vn 中每一元 a符合:
其中 c 係一常值,叫「中心荷」(en:central charge), 或「V之秩」(en:rank)。 此亦使V成為 Virasoro 代數之一表示。
例
編輯仿射李代數嘅頂點代數
編輯内文:頂點代數(仿射)
設
- g 係單李代數
- g^:= g((t)) + CK 係渠嘅仿射李代數
- Ck:=C. vk 係 g^ 嘅一維表示,t 嘅作用係0,K 嘅作用係 k;
- Vk(g) := Indg[ [t]]⊕CKg^ Ck := U(g^) ⊗ g[ [t]]⊕C Ck 係誘導表示
咁
- Vk(g) 有自然嘅頂點代數結構;我地攞vk做其真空向量|0> 。
參攷
編輯- Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
- Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
- Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
- Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10., 亞美利根數學會, 1996. ISBN 0-8218-0643-2
註
編輯- ↑ 註:頂點代數之定義有幾種大同小異之版本;請參攷有關專著。