頂點代數 (仿射)

每一仿射李代數 g^ ，有對應嘅頂點代數V_k(g)：

設

• g 係單李代數
• g＾:= g((t)) + CK 係渠嘅仿射李代數
• {J^a | a=1,...,dim(g)} 係 g 嘅有序基
• J^a_n:= J^a⊗ tⁿ
• C_k:=C. v_k 係 g^ 嘅一維表示，t 嘅作用係0，K 嘅作用係 k；
• V_k(g) := Ind^{g^}_{g[ [t]]⊕CK} C_k := U(g^) ⊗ _{g[ [t]]⊕C} C_k 係誘導表示

定義

• 真空向量 |0>:= vk
• 位移算子T:
  • Tvk=0
  • [T,Jan] = -nJan
• 頂點算子 Y:
  • Y(vk,z)= Id ，即唔郁算子
  • Y(Ja-1 vk,z)= Ja(z)= ∑ Jan z-n-1
  • Y(Ja1n_1...Jamn_m)= 1/(-n1-1)! ... 1/(-nm-1)! ∶∂z-n1-1Ja1(z) ...∂z-n1-mJam(z)∶
    • 其中∶.........∶係正則排序（en:normal ordering）

咁

• V_k(g) 係頂點代數。

攷

• Edward Frenkel / David ben-Zvi (2001) : Vertex Algebras and Algebraic Curves, AMS, ISBN 0-8218-2894-0