Cobar分解

Cobar分解）(en:cobar resolution)係種鏈複形(en:chain complex)，渠響代數形變論、計代數上同調時有用。

設

• k係域
• C係k上嘅餘代數(en:coalgebra)
  • ∆係渠嘅餘積(coproduct)
  • e:C--->k 係渠嘅餘單位(counit)
• M係C-餘模(en:comodule)

定義 C嘅cobar分解

• Cob(C)=⊕Cobⁿ(C)
  • 其中 Cobⁿ(C) := C^⊗(n+2):=C⊗C.....C (n+2次)
  • d: Cobⁿ(C) --->Cobⁿ⁺¹(C)
  • d = ∆⊗1⊗1...⊗1 - 1⊗∆⊗1...⊗1 + 1⊗1⊗∆...⊗1 ... +- 1⊗1⊗1⊗....⊗∆

可用餘結合律(en:coassociativity)證

• d²=0

所以Cob(C)就係一串鏈複形。

跟住設

• h := e₁ :Cob^p(C)---> Cob^p-1(C)
  • 其中餘單位e₁ 將張量積嘅第一因子射向底域k

咁由餘單位同餘積嘅關係可證

• dh+hd=1

即係話，h係同倫(en:chain homotopy)。

亦可知 Cob(C)係 acyclic 鏈 (en:acyclic complex)，即係，渠嘅同調，除第一項，都係零。

參攷

• p.204, Steven Shnider / Shlomo Sternberg : 《Quantum Groups, from coalgebras o Drinfeld algebras》, International Press, ISBN 1-57146-000-4