Sweedler嘅Hopf代數

Sweedler 嘅 Hopf代數係隻四維嘅Hopf代數，既唔交換又唔逆交換(en:cocommutative)。Sweedler喺1969已經發現。

定義

設：

• k 係一域，其特徵唔等於 2

定義：

• Sweedler 嘅 Hopf代數 A 係 k 上嘅代數，
  • g 、x 係 A 嘅生成元，
  • g、x 符合條件：
    • gg=1,
    • xx=0,
    • gxg= -x.
• A 有逆代數(coalgebra)結構：
  • 逆積 (coproduct)
    • ∆(g):=g⊗g
    • ∆(x):=x⊗g+1⊗x
  • 逆單位元 (counit)
    • ε(g)=1
    • ε(x)=0
• A 嘅 Hopf 代數結構：
  • 對頂算子 (antipode)
    • S(g):=g
    • S(x):=-x 。

特點

• A 同構於渠嘅對偶空間 ≅ A^*
• 有左、右唔變積分：(1+g)x 、x(1+g)。無雙唔變嘅積分。
• 唔同構於任何量子雙重(quantum double)。
• A 有成系嘅半三角

半三角結構

設

• λ 係域 k 中嘅一元。

咁

R(λ) := 1/2 (1⊗1 +1⊗g +g⊗1 -g⊗g ) + λ/2 (x⊗x +x⊗gx +gx⊗gx -gx⊗x)

就係 A 嘅一架普適R-矩陣(universal R-matrix)。

亦都睇下

• Hopf代數
• 量子羣

註

• Vijayanthi Chari/ Andrew Pressley:《A Guide to Quantum Groups》,劍橋, ISBN 0-521-55884-0