Švarc-Milnor 引理

喺幾何羣論入邊，Švarc-Milnor 引理（英文：Švarc-Milnor lemma，又叫Milnor-Švarc lemma，Švarc 又可以串做Schwarz）指出如果一個羣$G$對一個空間$X$有一個「好」嘅作用嘅話，$G$同$X$就係擬等距同構（quasi-isometric）。下邊會畀返個詳細定義，乜嘢叫「好」嘅作用。

呢一個定理喺有擬等距同構呢個概念定義之前，已經喺Schwarz (1955)同Milnor (1968)入邊出現。Pierre de la Harpe話呢個Švarc-Milnor 引理係「幾何羣論入邊最基礎嘅觀察」，即係對成個課題好重要咁解。依家嚟講甚至有人引述呢個定理嗰陣直程叫佢做「fundamental observation in geometric group theory」，唔叫Švarc-Milnor 引理，例如可以睇Farb and Margalit，A primer on mapping class groups，定理8.2。

完整論述

喺唔同嘅書入邊呢個定理會有少少唔同，以下呢個係Bridson and Haefliger，Metric Spaces of Non-Positive Curvature嘅版本（第140頁，命題8.19）。

假設羣$G$對常態長度空間（proper length space）$X$有一個羣作用，而且呢個作用係properly discontinuous同埋餘緊緻（cocompact），咁個羣$G$就係有限生成（finitely generated），而且對任何一個生成集$S$以及任何一點$p\in X$，軌道映射

$f_{p}:(G,d_{S})\to X,\quad g\mapsto gp$

都係一個擬等距同構。呢度$d_{S}$係$G$上邊對應著生成集$S$嘅字度量。

有啲書入邊呢一種嘅羣作用會叫做幾何作用（geometric action）。

術語嘅詳細解釋

一個度量空間$X$若果每個閉集都係緊緻嘅話，就話$X$係常態（proper）。

一個$G$對$X$嘅作用若果每一個緊緻集$K\subset X$，$\{g\in G|gk\cap K\neq \varnothing \}$都係有限集嘅話，就話佢係properly discontinuous。

一個$G$對$X$嘅作用若果個商空間$X/G$帶著商拓樸係緊緻嘅話，就話個作用係餘緊緻。配埋Švarc-Milnor 引理嘅其他假設嘅話，餘緊緻等價於存在一個閉波$B\subset X$令到$\bigcup _{g\in G}gB=X$。

例子

下邊例子1-5睇de la Harpe嘅書第89-90頁，例子6就睇Richard Schwartz篇文。

1. 對任何$n\geq 1$，$\mathbb {Z} ^{n}$呢個羣擬等距同構於歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{n}$
2. 如果$\Sigma$係一個負歐拉特徵數嘅閉連通定向曲面嘅話，佢嘅基礎羣$\pi _{1}(\Sigma )$同雙曲空間$\mathbb {H} ^{2}$擬等距同構。
3. 如果$(M,g)$係一個閉連通光滑流形，佢嘅基礎羣$\pi _{1}(M)$同$({\tilde {M}},d_{\tilde {g}})$擬等距同構，呢度${\tilde {M}}$係$M$嘅萬有覆疊空間，${\tilde {g}}$係$g$拉返上去${\tilde {M}}$，$d_{\tilde {g}}$就係由黎量度量${\tilde {g}}$誘導嘅路徑度量。
4. 如果$G$係一個連通有限維李羣，帶著一個左不變黎曼度量同對應路徑度量，而$\Gamma \leq G$係一個一致晶格嘅話，$\Gamma$同$G$就係擬等距同構。
5. 如果$M$係一個閉雙曲3-流形，咁$\pi _{1}(M)$就同$\mathbb {H} ^{3}$擬等距同構。
6. 如果$M$係一個完備有限體積有尖嘅雙曲3-流形，咁$\Gamma =\pi _{1}(M)$就同$\Omega =\mathbb {H} ^{3}-{\mathcal {B}}$擬等距同構，呢度${\mathcal {B}}$係一柞$\Gamma$-不變嘅極限球面（horoball），$\Omega$就帶著誘導嘅路徑度量。