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深入講羣,請睇羣論

(Group)係數學上一種代數結構。一個羣係一個(set),喺上面定義一種運算(operation)(一般叫佢做「乘法」,不過唔一定係、多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」),要令到集裏面任意兩個元素(element)進行運算,結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合以下性質,即係結合性質(associative),恆等性質(identity)同可逆性質(invertibility)。根據香港中文大學數學系助理教授陳國威所講,所有嘅物理都係群作用Group Action)。[1]

定義

如果有一個叫G嘅Set,我想佢係喺一個,就需要有一個二元運算(Binary Operation)「•」,(多數叫佢做,因為係用一點嚟表示)。而Set入面嘅嘢同個運算,需要符合以下幾個條件:

  • 綁住/包住(Closure) 。意思係,喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢,「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返 入面。
  • 結合性質(Associative): 。意思係,無論有幾多粒嘢,點樣乘都無問題,做左前面先又得,做左後面先亦得。
  • 恆等性質(Identity) 。意思係,嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫 或者叫 又或者叫identity,佢乘咩嘢都無變嘅。
  • 可逆性質(Invertibility) 。意思係,嗰堆嘢入面,每一粒嘢,都會有對應嘅另一粒嘢,佢哋乘埋會變返做 

咁如果一個set,再畀多個運算佢,又咁啱符合嗮以上條件,咁個set加埋呢個運算呢就係一個group,寫成 

以上並唔要求 ,即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話,咁呢個羣就叫做阿標羣(Abelian group)

例子

整數 

整數係第一個識得嘅羣。整數嘅集,係寫成 ,佢入面裝住所有嘅整數,即係 。因為羣需要一個運算,所以就畀咗個加法佢。咁就需要證明 係一個羣。

  1. Closure: )假設 入面其中兩個元素,叫做a同b。由於 得出嘅係整數,而 係包齊曬所有整數。所以 
  2. Associative: )假設 入面揀任何三個元素,叫做a、b同埋c。做加法嗰時,做完 先再加c,同做完 之後再加a,兩個結果係一樣嘅。所以 
  3. Identity:( ) 是旦搵一個元素,佢搞完(即係加)其他元素,佢都係無變嘅,咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢,都等於無加過嘢。
  4. Invertibility:( ) 每一粒喺 入面嘅元素,都係有另一半,而佢同佢另一半加埋之後,會變做0。一個元素a,佢嘅另一半就係(-a),佢哋加埋就會變做0。

幾何變換

譬如話,喺 上有個圖形,對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

注意,呢個群嘅元素唔係數,而係變換(即係映射);運算唔係加減法,而係映射嘅複合。群只需定義一種運算,而且唔要求交換律成立,所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構(例如要定義加法、乘法兩種運算)。不過亦有交換群

常見例子

運算 恆等元(Identity) 樣(Form) 逆元(Inverse) 係唔係阿標
         
         
         
         
  矩陣乘法    

 

  唔係
          嘅解
         
  矩陣乘法       唔係
          唔係

性質

由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係:「如果一個群符合 要求,咁樣呢個群就係阿標群。」,但係群都有其他性質:

  • 用域(Field)入面非零嘅噖,加一般既乘法整成嘅群,就會係一個一般乘法嘅阿標群。
  • 用環(Ring)入面嘅野,加一般加法整成嘅群,就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定 係個群同埋 都係 入面嘅嘢。

  1. 如果  入面成立,咁 。對應既係,如果 ,咁 
  2. 每一個 入面,只係得一粒 
  3. 每一粒 ,佢嘅 都係得一粒。
  4.  
  5.  
  6. 對應任何整數   都會成立。

證明

有限群同基數

基數(Order)係群嘅一個概念,佢同集嘅基數(Carnality)嘅意思一樣,都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

定義(有限群)

假設 係一個群。如果 有限群(Finite Group or Finite Order),即係話佢入面只係得有限嘅元素(嘢)。

 入面嘅嘢嘅數量會叫做 嘅基數(Order of G),一般會用 嚟表示。

如果 入面嘅嘢係無限咁多,會將 叫做無限群(Infinite Order)

定理

如果有  兩個群。將 定義為一個係 入面嘅運算,而呢個運算係咁嘅

 
咁樣 就係一個群。

如果  都係阿標群,咁 都係阿標群。

如果  都係有限群,咁 都係,而且 

定義(元素基數)

 係一個群,  入面嘅一粒嘢。

如果 有基數(Finite Order),即係話,對應一啲嘅正整數  

一般,會將最細嘅正整數 ,符合 ,叫做 嘅基數(Order of the element  )。

一般會寫做,  嘅基數係 

如果 冇基數(Infinite Order),即係話,對應所有嘅正整數  

性質

以下假設咗 係一個群,而  入面嘅嘢。

  1. 如果 係冇基數,咁每一粒 都係唔同嘅(唔相等嘅), 係正數。
  2. 如果 係有基數,而佢嘅基數係 ,咁 同埋 
  3. 如果 係有基數,而基數係 ,咁 嘅基數係 
  4. 如果 ,咁 就有基數。

證明

應用

利用上面嘅概念同性質,可以證明出更多嘅定理。以下都假設 係一個群, 都係 入面嘅剐。

  1. 如果 ,咁 
  2. 如果 ,咁 
  3. 如果 係阿標群,咁 係一定成立。「 
  4. 如果 嘅基數係 ,咁 就係一個阿標群。「即係話, 
  5. 只會得一粒 係符合 
  6.  
  7. 如果 係雙數,咁 入面就會有粒嘢嘅基數係 

睇埋

參考

  1. [1] MATH3030 - Algebra I.