一元三次方程

一元三次方程,或者叫立方函數,係一條有一個未知數而次數係三嘅方程。一元三次方程通常會寫做

立方函數 嘅圖。佢嘅根(即係 截距)有三個: ;佢嘅臨界點有兩個。

解法

如果要解一元三次方程,首先一定要剷咗二次方嗰個項,變成一個冇咗二次項嘅方程。之後無論用卡贊諾或者韋達嘅方法,都可以得到方程嘅解。最後得到嘅解嘅公式係:  

 

 

簡化

如果想解一元三次方程,一定要先剷走咗個二次項。呢個係求解嘅時候好重要嘅一步,咁就可以啟發思路,容易啲諗到求解嘅辦法。簡化嘅時候,成條式除以   ,代入   ,得到   咁嘅樣,當中:  

 

證明:  

 

 

 

 

 

最後嗰步就將   嗰三個可能值加落   嗰度,咁就好以得到方程嘅三個解。

去到呢一步之後,無論用卡贊諾嘅方法或者韋達嘅方法,都可以揾到  

卡贊諾之法

數學家卡贊諾話:假設  。咁就可以得到:

 

 

同時,又設  。於是就得到:  

  同埋   都係   嘅解。用一元二次方程嘅公式就可以解咗佢。於是得到:

 

跟著用單位根去揾   各自相應嘅三個可能值,用   可以揾到   (兩個實數解嘅    相加揾到一個  ,至於複數解嘅   ,佢哋嘅系數都係共軛嘅就相加)。於是,再用   就可以揾到答案。

韋達之法

數學家韋達話:假設  。咁就可以得到:

 

 

又:設  。則:  

 

 

咁嘅話,就得到   其實係   嘅其中一個解。用一元二次方程嘅公式就可以揾到解。揾佢嘅解就好似上面卡贊諾嘅辦法,因為上面嗰條方程同埋下面嗰條方程都係一樣嘅。

之後再用單位根  嘅三個可能值,然後又用   得到   。最後用   得到答案。

根嘅特性

首先定立判別式 

咁樣嘅話:

如果  ,就有一個實根同埋一啤共軛複根;

如果  ,就有多重實根,當中:

  • 如果  ,有一個雙重實根同埋另一個單實根。
  • 如果  ,有一個三重實根。

如果  ,有三個唔同嘅實根。