二次方程英文quadratic equation)係指只有一個未知數、最高次數 嘅多項式方程。比佢簡單嘅有線性方程,係最簡單嘅方程式。而二次方程就係繼線性方程之後被數學家研究嘅方程。如果用圖表畫出,就會得出一條拋物線。一般嚟講,二次方程可以寫做以下呢個樣:一般嚟講都係一個實數,不過亦都可以係其他數字系統入面嘅數,例如整數、有理數、複數、p進數等等,甚至自己都係函數都得。

利用圖表嚟表達,佢嘅 -截距 正正就係二次方程 嘅解

解二次方程

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解析解

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二次公式,用嚟解二次方程。

解二次方程嘅其中一個方法就係配方法(completing the square)。假設有一條二次方程:

 

先確保 嘅常數係 ,所以成條式除以 得出:

 

再做配方法,配方法係利用 ,轉個轉方法寫出嚟,即係變成咁 ,再應用得出:

 

咁整理一下:

 

將兩邊都開一次方,就得出:(注意,開方有正有負)

 

再整理一次:

 

呢條式就係著名嘅二次公式

呢條公式去到17世紀先至有人砌到出黎。雖然喺1585年,數學家Simon Stevin係佢嘅著作L'Arithmetique入面已經有提到點樣解二次方程,但係佢就係用文字表達出嚟,而唔係用數學式。最後,數學家用咗四十幾年先可以正式解到。

巴比倫人嘅解法

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巴比倫人應該係世界上第一族可以解到二次方程嘅人。早喺公元前2000年,巴比倫有一塊碑度記載咗點解二次方程,以下係英文翻譯:

「I have subtracted from the area the side of my square: 14.30. Take 1, the coefficient. Divide 1 into two parts: 30. Multiply 30 and 30:15. You add to 14.30, and 14.30.15 has the root 29.30. You add to 29.30 the 30 which you have multiplied by itself: 30, and this is the side of the square.[1]

判別式

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内文:判別式

因為根號入面嘅數值會影響咗實根嘅數量,所以就有以下嘅判別式(discriminant):

 

當所有係數 都係實數時,

 ,有兩個唔同嘅實根;

 ,有兩個一樣嘅實根,叫重根;

 ,因為負數開方虛數,所以冇實根,而係有一對共軛嘅複數根。

睇埋

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參考

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  1. Jean-Pierre Tignol, Galois' Theory of Algebraic Equations. QA211 .T5413 2001