抽象代數入面,內自同構係指或者代數入面嘅一種自同構,係由一個揀定咗嘅元素嘅共軛作用整出嚟嘅,呢個元素有時會叫做conjugating element。呢種同構可以好簡單噉用羣入面嘅運算表達出嚟,所以叫做「內」自同構。將啲內自同構攞埋一齊睇,會組成成個自同構羣嘅一個正規子羣。對呢個正規子羣取商嘅話就會得到外同構羣

定義

假設 係一個羣,  入面一個元素(或者 係一個環, 係一個可逆元),噉函數

 

就叫做 嘅右共軛(right conjugation by  ),噉樣定義出嚟嘅函數係 上面嘅自同態:對任何嘅 

 

其中第二步係𠓼個單位元 入去中間。另外,呢個函數有個雙邊逆元 ,所以 雙射,亦即係話係一個自同構。任何噉樣做共軛得出嚟嘅同構都叫做內自同構[1]

寫右共軛嗰陣,好多時 呢嚿嘢會直接寫做 ,呢個寫法好方便,因為共軛嘅複合符合 呢條式,亦即係話共軛係羣 對自己嘅右作用

內外自同構羣

兩個內自同構複合埋一齊都係內自同構,所以所有內自同構一齊就形成咗一個羣,叫 嘅「內自同構羣」(inner automorphism group),寫做 

事實上, 係成個自同構羣 嘅一個正規子羣,取個就係外自同構羣 

 

所以外自同構羣可以話係量度有幾多 嘅自同構唔係內自同構。每一個非內自同構都可以整一個 入面嘅非平凡元素出嚟,但係唔同嘅非內自同構有機會整同一個元素出嚟。

一個元素 係另一個元素 嘅共軛作用下不變係等價於呢兩個元素可以交換:

 

所以內自同構羣可以話係量度個羣(或者環)係有幾唔交換

有一個內自同構嘅判別方法:羣 嘅一個自同構係內自同構若且唯若佢可以延伸(extend)去任可一個裝著 嘅羣[2]

對任何元素 都可以對應一個內自同構 ,呢一個對應畀咗一個商羣   嘅中心)同 之間嘅同構

 

呢個其實可以用第一同構定理證明出嚟,因為 入面嘅元素同 嘅所有元素都交換,即係話佢對應嘅共軛作用固定所有元素。

有限p-羣嘅非內自同構

Wolfgang Gaschütz嘅一個定理話如果 係一個有限唔交換p-羣嘅話,噉 就有一個非內自同構嘅階係p嘅次方。

但係如果想問有冇一個個階係p嘅話就暫時係open problem嚟。不過如果 符合以下其中一個條件嘅話答案就係肯定嘅:

  1.  係二階零冪
  2.  regular p-羣
  3.  powerful p-羣
  4.  Frattini子羣嘅中心嘅中心化子CGZ ∘ Φ(G),同Φ(G)唔一樣

羣嘅種類

 嘅內自同構羣 係平凡若且唯若 交換羣,而 如果係循環羣嘅話就只能係平凡羣。

喺另一個極端,內自同構羣可能已經等於成個自同構羣;一個羣如果佢所有自同構都係內自同構,而且中心係平凡嘅話個羣就叫做完整(complete)。例子有 元素對稱羣( ),如果 嘅話,個對稱羣有一類外自同構,而如果 嘅話,雖然無外自同構,但係佢係交換羣,所以中心唔係平凡子羣,即係話 唔係完整。

如果一個完美羣(perfect group) 嘅內自同構羣係簡單羣嘅話,就會話 擬簡單羣(quasisimple)。

李代數

一個李代數𝔊嘅自同構如果可以寫做Adg噉嘅樣嘅話就叫一個內自同構,其中Ad係個伴隨表示g係對應李羣嘅一粒元素。呢個內自同構嘅定義同對應李羣嘅內自同構嘅定義係相容嘅,意思即係李羣嘅內自同構可以誘發對應李代數上面嘅內自同構。

延伸

如果 係一個A單位羣(group of units)嘅話, 嘅內自同構可以延伸去矩陣環M2(A)嘅單位羣對A上面嘅射影直線嘅一個作用,所以經典羣嘅內自同構可以用呢個方法去延伸。

參考

  1. S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (第3.版). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
  2. Schupp, Paul E. (1987), "A characterization of inner automorphisms" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 101 (2): 226–228, doi:10.2307/2045986, JSTOR 2045986, MR 0902532

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