粵拼waan4英文ring)係數學入面一個重要嘅代數結構。佢係一個帶住兩個二元運算,通常叫做,係平時數字嘅加法、乘法嘅推廣。環入邊嘅元素可以係有理數複數呢啲數字,亦都可以係函數矩陣呢啲非數字,甚至係幾何物體都得,只要定義好佢哋之間嘅加法同乘法,而且符合一列嘅規則(公理)就得。

基本上,好多嘅計算都係喺環上面進行。

定義

一個代數 係一個集 連帶住兩個二元運算 同埋 ,即係加法同乘法。而佢哋必須符合:

  •  阿貝爾羣
    •  
    •  
    •  
    •  
  • 乘法係可以結合(Associative)
    •  
  • 乘法對於加法符合分配律
    •  

如果 係一個環:

  •  可溝通環(commutative),或者可溝通性,即係話係 入面揀任何兩粒嘢 ,都會滿足 
  •  有單位(with unity),或者單位性,即係話 入面對應任何一粒嘢,佢都會有一粒乘法恆等元(multiplicative identity),即係會有一粒嘢叫 符合 

如果唔用嘅術語嚟定義:

一個集 連帶住兩個二元運算 同埋 ,即係加法乘法。如果 係一個環,佢哋必須符合:

  • 包住/被綁定(Closure) 
  • 結合性(Associativity) 
  • 可溝通性(Commutativity) 
  • 可融性(Distributivity) 
  • 有恆等元(Identity) 
  • 有可逆元(Inverse) 

例子

 
整數帶住加法乘法,係環嘅原型

例一:

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  •  
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呢啲平時用開嘅數字系統都係環。

例二:

 係一個集包括所有由  嘅函數,即係 

 係阿貝爾羣,加法係咁樣定義嘅: 

定義 

可以證明 係一個環。

性質

 係一個環,咁佢一定會有一個加法恆等元素(Additive Identity) ,對應任何 ,以下嘅事情都成立:

  •  
  •  
  •  

其他特性

 係一個環。

  •  係可溝通性  ,對應所有嘅 
  • 如果 阿貝爾羣同埋 ,咁 係一個環。

歷史

環論嘅歷史可以追溯到十九世紀。環論發展成形嘅原因,主要係嚟自當時嘅數學家想解決兩類環嘅問題:實數虛數多項式環同埋整數環。即係話,佢哋主要係為解決多項式同埋整數嘅問題,而發明出環呢個概念。

環係由數學家打域囂拔(David Hilbert)第一個用「環」呢個字,但係當時都重未有一個好確實嘅定義。直到二十世紀二十年代,環先至有一個好確實嘅定義。

1921年,數學家Emmy Noether喺佢嘅著作《環理想理論》(Ideal Theory in Rings)提出咗一堆有關可溝通環嘅理論。呢篇文入面最重要嘅定理就係「環倍數連鎖定理」(Ascending Chain of Ideals)。

Emmy Noether喺1907年讀完博士之後,囂拔喺1915年叫佢去哥德根大學幫佢手做研究。但係因為Noether係個女人,令到當時嘅大學唔肯畀一個教席佢。所以佢一直都係用囂拔個名嚟教書。直到1923年,打完第一次世界大戰,因為有啲政策上嘅改動,佢先有返一個教席。但喺1933年希特拉上台,身為猶太人嘅佢好快就被迫走到美國費城

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