間距

間距（Interval）係數學入面嘅一個概念。因為實數（$\mathbb {R}$）有排序性，所以可以分出一類子集叫做間距。間距喺研究數學分析入面係好重要嘅工具。

間距分類

• 無界間距（Open Interval）$(a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$
• 有界間距（Closed Interval）$[a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$

而$a$同$b$係叫做界點（End Points）。重有其他一半有界有半無界嘅間距，同埋有啲無限無界間距同無限有界間距：

• 半有界半無界間距（Half-open / Half-closed）$(a,b],[a,b)$
• 無限無界間距（Infinite Open Intervals）$(a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x>a\},(-\infty ,b):=\{x\in \mathbb {R} :x<b\}$
• 無限有界間距（Infinite Closed Intervals）$[a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\},(-\infty ,b]:=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}$

成立間距定理

成立間距定理（Characterisation Theorem）係一條講佢間距嘅特性，同埋點樣成立一個間距。

如果$S$係$\mathbb {R}$嘅實子集，同時$S$最少有兩點，佢又符合以下性質

「如果$x,y\in S$同埋$x<y$，咁樣$[x,y]\subseteq S$。」

，$S$就係一個間距。

證明：

需要證明四個唔同嘅分類。

• $S$係被綁定。
• $S$係被上面綁住，但係下面無。
• $S$係被下面綁住，但係上面無。
• $S$係無被綁定。

$S$係被綁定

設$a:=\inf S$同$b:=\inf S$，之後將$S\subseteq [a,b]$，需要證明出$(a,b)\subseteq S$。

如果$a<z<b$，咁$z$就唔係$S$嘅下界限。因此，咁就有一個$x\in S$符合$x<z$。

同時，$z$都唔係$S$嘅上界限，所以有一個$y\in S$符合$z<y$。

所以，$z\in [x,y]$。

利用上面「」入面嘅性質，得知$z\in S$。

因為$z$係任意一點，所以$(a,b)\subseteq S$。

如果$a\in S$同埋$b\in S$，咁$S=[a,b]$。

如果$a\notin S$同埋$b\notin S$，咁$S=(a,b)$。

如果$a\in S$同埋$b\notin S$，咁$S=[a,b)$。

如果$a\notin S$同埋$b\in S$，咁$S=(a,b]$。

$S$係被上面綁住，但係下面無。

假設$b:=\sup S$，咁$S\subseteq (-\infty ,b]$。需要證明$(-\infty ,b]\subseteq S$。

如果有點$z<b$，咁就會有兩點$x,y\in S$令到$[x,y]\subseteq S$。

因為$z\in (-\infty ,b]$，所以$[x,y]\in (-\infty ,b]$。

如果$b\in S$，$S=(-\infty ,b]$。

如果$b\notin S$，$S=(-\infty ,b)$。

其他做法都係差唔多。

循環間距

如果一串間距（sequence of intervals）$I_{n},n\in \mathbb {N}$，係循環間距。咁$I_{n}$就符合以下性質：$$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq I_{4}\supseteq \cdots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\supseteq \cdots$$

循環間距性質

如果$I_{n}=[a_{n},b_{n}],n\in \mathbb {N}$係一個循環綁定間距，咁就會有一個數$\xi \in \mathbb {R}$，對應所有既$n\in \mathbb {N}$符合$\xi \in I_{n}$。

證明：