數學分析

數學分析（粵拼：sou³ hok⁶ fan¹ sik¹；英文：mathematical analysis）係數學嘅一個分支領域，重點在於研究極限（limit）同相關嘅概念：喺數學上，一個函數有極限值即係指，隨住個函數嘅輸入值趨近某個值，個函數嘅輸出值會趨近另外一個值，可以用公式想像成

呢條線就噉望落似係曲嘅，但將佢斬開做幾橛嘅話，其中有幾橛望落似係直嘅。

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

上述呢條式係指「隨住輸入值 $x$ 嘅值趨近 $c$，以 $x$ 做輸入值嘅函數 $f$ 嘅輸出值會趨近 $L$」。呢個概念可以用嚟分析複雜嘅函數，好似係附圖嗰條線噉，條線就噉望落似係曲嘅，而家將條線喺 $({\text{c}},{\text{L}})$ 嗰點斬開，$({\text{c}}-\delta ,{\text{L}}-\epsilon )$ 同 $({\text{c}},{\text{L}})$ 之間嗰一細橛望落比較似一條直線，即係話－

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=$ 一個恆定嘅數值；

喺條式當中，$\Delta x$ 係指 $x$ 喺某兩點之間變咗幾多，而 $\Delta y$ 同理係指 $y$ 喺嗰兩點之間變咗幾多。事實係無論一條線幾咁曲都好，如果將條線斬到極細，就可以將每一極細橛想像成直線（斜率有個特定數值），而呢個亦係微積分（calculus）嘅理論基礎。除咗微積分之外，數學分析仲會著手研究實數函數、複數函數、逼近理論同埋諧波分析等等嘅課題。

數學分析嘅用途廣泛得好交關：自然科學上研究嘅各種自然現象同埋工程學上研究嘅人造系統都可以用函數嚟描述；例如物理學就好興用函數嘅方法表達佢哋啲定律，所以數學分析上嘅方法能夠幫到手理解呢啲函數同埋按呢啲定律設計出嚟嘅人造系統。

基礎概念

函數

$X$ 同 $Y$ 各有自己嘅元素，個函數會講明 $X$ 每個元素對應 $Y$ 嘅邊個或者邊啲元素（啲箭咀）。

內文：函數 同 連續函數

數學分析最基本上係分析緊函數（mathematical function / function）。响概念上，函數可以噉樣想像：攞兩個集，$X$ 同 $Y$，一個函數會講明 $X$ 裏面嘅每一個元素對應 $Y$ 入面嘅邊一個元素；舉個簡單例子說明，有兩個集，

$X=\{1,2,3,4...\}$

$Y=\{2,4,6,8...\}$

兩個集之間嘅函數（通常用「$f$」代表）係

$y=2x$

呢個函數講明「$X$ 裏面嘅每一個元素（$x_{i}$）喺 $Y$ 入面嘅對應（$y_{i}$）係 $x_{i}$ 嘅兩倍」。函數仲可以按好多特性嚟分類，當中連續函數（continuous function）可以話係數學分析上最重要嗰種函數，簡單講就係「條線唔會斷」嘅函數－呢啲函數亦係對極限（limit；睇下面）嘅思考嘅基礎。

函數可以用嚟表示變數（variable）之間嘅關係。例如假想家陣有個連住條彈弓嘅波喺彈弓嘅力影響下來回前後噉郁，個波距離 0 點嘅位移（$x$）會隨住時間（$t$）變化，噉講即係話是但搵個時間點 $t_{i}$，$t_{i}$ 會係 $T$（所有 $t$ 可能值嘅集合）嘅元素，而且會有個相應嘅 $x$ 數值（喺 $t_{i}$ 嗰點時間嘅 $x$），所以 $x=f(t)$ －而假想研究者知道咗所需嘅物理定律，知道 $f$ 係點嘅樣，就可以郁手對 $x$（一個反映個波嘅行為嘅變數）作出數學分析。因為「表達唔同變數之間嘅關係嘅函數」呢家嘢無論喺任何科學同工程學領域上都會用到，數學分析嘅技巧喺各科學工程領域上都有廣泛嘅應用價值。

數列

內文：數列

數列（sequence）係一種數學物體。一個數列會好似一個集（set）噉由一柞元素（element；可以係數）組成；而同集唔同，數列係有特定次序嘅，即係例如一個由數組成嘅數列會分「邊個係排第 1 嗰個數」、「邊個係排第 2 嗰個數」... 等等－每個元素都掕住個自然數 $n$，表示佢喺個數列入面嘅位置，

例：$x_{n}=(2,4,6,8,10,\cdots )$；

而且一個數列可以同一款元素出現喺個數列嘅唔同位置，

例：$x_{n}=(2,4,6,2,4,\cdots )$（「2」同「4」都出現咗最少兩次）；

數列可以當係函數嘅一種，指「會將自然數（$n$）轉換成第個數（數列嘅第 $n$ 個數）」嘅函數。

極限

內文：極限 (函數)

數列嘅一個重要特徵係可以匯合（converge）：想像有個由數組成嘅數列 $a_{n}$，依家攞個數列嘅第 $n$ 個元素嚟睇，隨住 $n$ 嘅數值愈嚟愈大，發現元素 $n$ 嘅數值愈嚟愈接近某個特定嘅數值 $x$（$\mid x-a_{n}\mid$ 愈嚟愈接近 0），而呢樣嘢用數學符號嚟表達嘅話係噉樣：

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=x$

上述呢條式用日常用語講，係指「隨住 $n$ 嘅值趨近無限大（$\infty$），$a_{n}$ 會趨近 $x$ 呢個數值」。喺數學上，數列 $a_{n}$ 就可以算係話有個極限（limit），而呢個極限就係 $x$。用圖嘅形式嚟表達，如果 Y 軸做「$a_{n}$ 嘅值」，X 軸就做 $n$，而個數列嘅極限（$x$）係 0，就會出以下呢幅噉嘅圖：

微積分

附圖 1；$f(x)$ 直線嘅圖解

內文：微積分

微分

內文：微分 同 微分方程

想像家陣將 $f$ 畫做一條線，當中 Y 軸表示 $f(x)$，X 軸表示 $x$，而 $f$ 出嘅線喺 $(x_{1},y_{1})$ 同 $(x_{2},y_{2})$ 呢兩點之間係直線（附圖 1），噉條線喺 $(x_{1},y_{1})$ 同 $(x_{2},y_{2})$ 之間嘅斜率（slope）$m$ 响定義上係

$m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

當中「$\Delta$」呢個符號係希臘字母 Δ（delta），喺數學上意思係「... 嘅改變」噉解，即係「$\Delta y$」表示「$y$ 嘅改變」（$y_{2}-y_{1}$），而個斜率 $m$ 就反映咗「喺嗰段線之間 $y$ 隨 $x$ 嘅變率」。

而家想像 $f$ 畫出嚟唔係一條直線，而係一條好複雜嘅曲線，例如噉：

呢條線嘅斜率會隨 $x$ 嘅數值有所變化。而家喺條線上面是但攞兩點 $(a,f(a))$ 同 $(a+h,f(a+h))$ 嚟睇，而 $h$ 嘅值細到喺嗰段仔可以想像成直線。$f(x)$ 喺呢兩點之間隨 $x$ 嘅斜率係：

${\begin{aligned}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}&={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\end{aligned}}$

微分（differentation）嘅做法建基於函數極限嘅諗頭，嚟表達一個函數嘅瞬間變率（instantaneous rate of change）：而家想像將 $h$ 嘅數值變到愈嚟愈細，即係將條線斬做愈嚟愈細嘅橛，會得出$f(x)$ 喺呢兩點之間隨 $x$ 嘅導數（derivative），$f'(x)$，即係

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

$h$ 一旦細到咁上下，就會變成無窮小量（infinitesimal）－無限咁接近 0、但仲係大過 0。用日常用語講嘅話，即係話如果將一條曲線斬開做好多極細嘅橛，如果啲橛仔夠細，噉每一橛仔都可以當成一條好短嘅直線，有一個可以有方法決定嘅斜率。如果用圖像方法表示，可以想像下圖條紅色曲線嘅情況（兩個細圓圈表示考慮緊嗰兩點）－隨住考慮緊嗰兩點之間嘅 $x$ 距離愈嚟愈細（$h$ 愈嚟愈接近 0），噉「兩點之間嗰段紅色曲線嘅斜率」會愈嚟愈似「兩點之間嗰條直線嘅斜率」：

應用例子

因為自然科學同工程學會用函數描述好多嘢（自然現象同人造嘅系統），所以瞬間變率同埋建基於瞬間變率嘅函數分析方法喺好多科學同工程學上嘅研究裏面都有用。牛頓力學（Newtonian mechanics）就會到用導數嘅概念，將速度（$\mathbf {v}$）想像成位移（$\mathbf {r}$）隨時間（$t$）嘅瞬間變率，而加速度（$\mathbf {a}$）就想像成速度隨時間嘅瞬間變率，即係：

$\mathbf {v} ={\Delta \mathbf {r} \over \Delta {t}}$

$\mathbf {a} ={\Delta \mathbf {v} \over \Delta {t}}$

呢幾嚿嘢因為材料等嘅原因而以唔同嘅速度同加速度郁動，不過佢哋嘅 $\mathbf {v}$ 都可以想像成 $\mathbf {r}$ 隨 $t$ 嘅瞬間變率。

簡單例子：假想依家已知

$\mathbf {r} ={\text{C}}t$，

當中 ${\text{C}}$ 係一個常數；噉嘅話

$f'(t)={\frac {{\text{C}}(t+h)-{\text{C}}t}{h}}$，當中 $h$ 數值極細但大過 0；

$f'(t)={\frac {{\text{C}}t+{\text{C}}h-{\text{C}}t}{h}}$

$f'(t)={\frac {{\text{C}}h}{h}}$

$f'(t)={\text{C}}$

－得出「$\mathbf {v}$（$f'(t)$）係一個常數」。用日常用語講，有咗微分嘅技術，知道咗「$\mathbf {r}$ 點隨 $t$ 變化」就會知道埋「$\mathbf {v}$ 點隨 $t$ 變化」同「$\mathbf {a}$ 點隨 $t$ 變化」；而事實表明咗，有咗用微分嚟做力學分析嘅技巧，就基本上可以分析嗮所有喺地球環境下郁動嘅物體。

積分

黎曼積分嘅圖解：一條曲線同 X 軸之間嘅面積可以用「好多個極窄長方形嘅面積總和」嚟得出個大致數值。

內文：積分 同 積分方程

積分（integral）係一個同微分好有啦掕嘅概念。喺最簡單最基本嗰種黎曼積分（Riemann integral）當中，積分係噉樣定義嘅：想像家陣有個函數 $f$，$y=f(x)$；「函數 $f$ 由 $a$ 去 $b$ 嘅積分」用數學符號嚟表達最基本如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

而黎曼積分嘅定義如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\equiv \lim _{{\text{max }}\Delta x_{k}\to 0}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}$

上述呢條式講嘅嘢係噉嘅：想像依家將函數 $f$ 畫做條線，得出附圖 2 噉嘅線；設 $a=0$ 同 $b=2$，個研究者想計 $(a,f(a))$、$(a,0)$、$(b,f(b))$、$(b,0)$ 呢四點之間包住嘅面積係幾多，佢可以噉樣想像－

• 將 $a$ 同 $b$ 之間嗰段 X 軸斬開做 $n\times 2$ 咁多橛（${\text{step}}=1/n$），並且畫 $(2n-1)$ 咁多個長方形喺條線之內；
• 由幅圖睇得出，响 $n=1$ 嗰陣，個長方形嘅面積完全唔似研究者想要嘅面積；
• 但又想像依家 $n$ 變得極大，畫咗極多個長方形喺條之內，而每個呢啲長方形嘅闊度（$\Delta x_{k}$）極細（$\Delta x_{k}\to 0$）；
• 每一個呢啲極窄長方形嘅面積係 $f(x_{k})\times \Delta x_{k}$（嗰一點嘅 $f(x_{k})$ 乘以 $\Delta x_{k}$），而呢啲長方形嘅面積加埋（「$\sum$」呢個符號所表達嘅嘢）就會非常接近研究者想要嗰個面積。

簡單講，如果話微分計嘅係一條曲線上指定某一點嘅瞬間斜率，噉積分計嘅就係一條曲線指定某一個間距內（$a$ 同 $b$ 之間）條線同 X 軸之間嘅面積。

附圖 2，積分嘅想像圖解；函數 $f$ 係「$y=x^{2}$」。

基本定理

內文：微積分基本定理

積分可以話係將微分做嘅嘢掉返轉頭嚟做，而呢點係微積分基本定理（fundamental theorem of calculus）嘅重要一部份：簡單講嘅話，想像家陣有個函數 $f$，

$y=f(x)$

$f'(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$（導數嘅定義）；

考慮呢個導數喺是但兩點 $a$ 同 $b$ 之間嘅積分，當中 $b-a=\Delta x$，

$\int _{a}^{b}f'(x)\,dx$

呢個積分嘅數值會等同

$f'(x)\times \Delta x$（積分嘅定義）；即係話

$={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\times \Delta x$

$=\Delta y$

用日常用語講嘅話，攞一個函數 $f$ 嘅導數 $f'$ 上嘅一極細橛（$b-a=\Delta x$）嚟睇，嗰橛嘅 $f'$ 積分數值等同函數 $f$ 喺 $a$ 同 $b$ 之間嘅 $\Delta y$ ：

$\int _{a}^{x}f'(x)\,dx=f(x)-f(a)$

積分喺應用數學上都有廣泛嘅用途。例如係正話提到嗰個牛頓力學嘅例子噉，速度 $\mathbf {v}$ 係位移 $\mathbf {r}$ 隨時間 $t$ 嘅導數，亦即係話是但搵兩點時間點，嗰兩點時間之間嘅 $\mathbf {v}$ 嘅積分數值上會等同件物體喺嗰兩點時間之間嘅 $\mathbf {r}$ 變化總數。事實係，自然科學同工程學喺分析系統嗰時往往都會想知啲變數會點樣隨時間變化，所以結合微分同積分嘅分析做法－微積分（calculus）－响呢啲領域上極之有用，可以攞嚟（例如）搵出能夠清楚精確噉表達嗮唔同嘅變數分別點樣隨時間變化嘅函數。

實同複分析

內文：實分析 同 複分析

實分析（real analysis）係指針對實數同實數變數嘅實數函數做嘅數學分析，包括咗一般嘅微積分。而複分析（complex analysis）就係指涉及複數嘅數學分析。

重要課題

• 測度
• 微分幾何
• 多線代數
• 逼近理論（approximation theory）思考點樣用簡單嘅函數嚟逼近複雜嘅函數。想像家陣有個函數 $P(x)$，個函數能夠完美準確噉描述研究緊嘅現象，但 $P(x)$ 複雜得滯，搞到用 $P(x)$ 計起數上嚟好撈絞，於是研究者就用某啲方法搵一個新嘅函數 $f(x)$ 出嚟，$f(x)$ 簡單過 $P(x)$，計起數上嚟冇咁撈絞，而且同時做起預測上嚟得出嘅結果同 $P(x)$ 差距唔係咁大－例：是但搵個 $x$ 值，$\mid P(x)-f(x)\mid$ 嘅永遠都會細過某個特定嘅預設數值 $\theta$ ：

  $\forall x,\mid P(x)-f(x)\mid <\theta$；

  • 逼近理論研究嘅嘢正正就係「點樣搵出 $f(x)$」，喺科學同工程學嘅應用上好有價值。
• 諧波分析（harmonic analysis）係指將函數同訊號表示成基本波形（睇波動）嘅相加。用附圖 3 噉嘅圖解說明：想像一個有交流電（電壓同電流會週期性噉變）嘅電路，Y 軸代表某一點嘅電壓，X 軸代表時間，左圖同右圖下面嘅兩條幼線（$f_{1}$ 同 $f_{2}$）代表個別波形嘅活動，而最上面嘅粗線（$H$）代表兩條幼線嘅活動加埋（$H(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$）－由左圖睇得出，當兩條線嘅活動完全唔同步（即係一個去到最高點嗰陣，另外嗰個啱啱處於最低點），佢哋嘅活動總和會係 0；而右圖就顯示，如果兩條線嘅活動完全同步（兩個同時去到最高點，又同時去到最低點），佢哋嘅活動總和就會到達最大數值。諧波分析做嘅就係攞一啲複雜嘅函數，再睇吓每個函數可唔可以想像成若干個簡單波形（例如正弦波）嘅相加。

附圖 3

一個擺嘅圖解；藍色箭咀表示個擺嘅 $\mathbf {v}$，而藍色箭咀表示個擺嘅 $\mathbf {a}$。

• 動態系統（dynamic system）用日常用語講就係指啲特性會隨時間變化嘅系統。舉個例說明，想像一個用條繩吊咗喺天花板嘅擺：

  個擺因為受到某啲力嘅影響，而開始左右來回噉擺（簡諧運動），就噉睇已經可知，個擺嘅位置（$\mathbf {r}$）會隨時間（$t$）而變化，噉即係話個擺嘅速度實係一個唔係 0 嘅數值（$\mathbf {v} =\Delta \mathbf {r} /\Delta t$，$\mathbf {v} \neq 0$）；

  進一步嘅觀察顯示，個 $\mathbf {v}$ 都係喺度係噉變（個擺向左移到咁上下就停咗喺度，再改為向右移...），噉即係話個擺嘅加速度都係一個唔係 0 嘅數值（$\mathbf {a} =\Delta \mathbf {v} /\Delta t$，$\mathbf {a} \neq 0$）；

  • ... 等等。上述嘅係一個簡化例子，但淨係由上述講嘅嘢經已可知，呢個系統有最少兩個會隨時間變化嘅變數－$\mathbf {r}$ 同 $\mathbf {v}$，所以呢個系統係一個動態系統。喺物理學上，動態系統可以用微分嚟定義－如果話一個（由一粒或者多粒粒子組成嘅）系統係一個「動態系統」，即係話描述呢個系統嘅方程式當中會涉及到某啲系統變數（$x$）隨時間嘅導數（$\Delta x/\Delta t$）。
• 泛函分析（functional analysis）研究無限維度嘅向量空間（vector space）同埋唔同嘅向量空間（唔同空間可能維度數量唔同）之間嘅轉換。
  • 變分法
• 數值分析
• 狄勒 δ 函數

... 等等。

睇埋

• 集合論
• 伯努利數
• 實數同複數
• 無窮盡
• 量化子
• 最佳化
• 工程學
• 系統
• 機械

參考文獻

• Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., eds. (1984). Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. Translated by Gould, S.H.; Hirsch, K.A.; Bartha, T. Translation edited by S.H. Gould (2nd ed.). MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2nd ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Binmore, K.G. (1980–1981). The foundations of analysis: a straightforward introduction. Cambridge University Press.
• Hutchinson, J. E. (1994). Introduction To Mathematical Analysis (PDF).
• Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, W.E. (1981). Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
• Nikol'skii, S.M. (2002). "Mathematical analysis". In Hazewinkel, Michiel (ed.). Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0609-8.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Smith, David E. (1958). History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Whittaker, E.T.; Watson, G N. (1927). A Course of Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2.

拎

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis.
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl.
• Mathematical Analysis-Encyclopædia Britannica.
• Calculus and Analysis.