可除性

可除性（粵拼：ho2 ceoi4 sing3；英文：Divisibility）係數論入面一個基本概念。常用嘅術語係『a divide b』，同粵語所講嘅a除到b一樣。

數學符號表達方法係$a|b\iff ax=b,x\in \mathbb {Z}$，用返文字嘅意義係：a可以整除b，即係話會有一個整數x乘咗a，之後就係b，反之亦然。另一個講法係b係a嘅倍數，但係因為數論主要用除法，所以唔普遍用呢個講法，但係可以用嚟幫助理解。

一般學界會直接用『a divides b』，而唔會用『b divided by a』。數學家會用$a|b$表達a可整除b，而用$a\not |b$嚟代表a唔可以整除b。

基本特性

1. $a|0,1|a,a|a$
2. $a|1\iff a=\pm 1$
3. 如果$a|b$同$c|d$，咁$ac|bd$。
4. 如果$a|b$同$b|c$，咁$a|c$。
5. 如果$a|b$同$b|a$，咁$a=\pm b$。
6. 如果$a|b$，咁$|a|\leq |b|$。呢個指嘅係絕對值。
7. 如果$a|b$同$a|c$，咁可以揀任何兩個整數x、y符合以下呢條式，$a|(bx+cy)$。

證明

證明第三點

假設$a|b$同$c|d$。

根據定義，對應有啲整數$m\in \mathbb {Z}$同$n\in \mathbb {Z}$，得出$am=b$同$bn=c$。

因此得出，

$${\begin{aligned}am&=b\\amn&=bn\\amn&=c\end{aligned}}$$

根據定義，因為$mn\in \mathbb {Z}$係整數，所以$a|c$。

證明第七點

假設$a|b$同$a|c$。

根據定義，對應有啲整數$m\in \mathbb {Z}$同$n\in \mathbb {Z}$，得出$am=b$同$an=c$。

將兩條式各自乘上一個整數$x\in \mathbb {Z}$同$y\in \mathbb {Z}$。

$${\begin{cases}am=b\implies amx=bx\\an=c\implies any=cy\\\end{cases}}$$

將兩式加埋，$amx+any=a(mx+ny)=bx+cy$。

因為$mx+ny\in \mathbb {Z}$係整數，根據定義$a|(bx+cy)$。

應用

利用上面七條最基本嘅特性，可以得出以下幾個定理。

• 如果$a|b$，咁一定就係$(-a)|b$。「$\iff$」
• 如果$a|b$同$a|c$，咁$a|(b+c)$。
• 如果$a|b$同$a|c$，咁$a|(br+ct)$，$c,t\in \mathbb {Z}$係任何兩個整數。

睇埋

• 餘數定理
• 最大公因數