餘數定理

餘數定理（Division Theorem or Division Algorithm）係講兩個數，一個除另一個嘅時候，會有一個商同一個餘數。呢個定理係喺唔同嘅域都有對應嘅版本，最常見嘅有多整數同多項式嘅版本。

餘數定理係數論上面一條基本而重要嘅定理。喺證明好多數論問題都會用到佢。

概念

餘數定理係一條常用嘅理論，一做除法就會用到。

舉個例，將13粒提子分畀5個人，每個人就會有2粒，餘3粒。呢個已經係用咗餘數定理嘅概念，用數學式去寫就係$$13\div 5=2\dots 3$$換一個寫法就係$$13=5\times 2+3$$13係被除數，5係除數，2係商，3係餘數。

定理

整數版本

假設任何兩個整數 a、b，$a,b\in \mathbb {Z}$。對應呢兩個數，一定會有另外兩個數叫 q 同 r，$r,q\in \mathbb {Z}$，通常會叫 q 做商（quotient），r 做餘數（remainder）。

而以上四個數字會得出以下關係：

$a=bq+r$

而r會符合 $0\leq r<b$ 呢個條件，同埋對應 a、b 嘅 r、q 係只得一個。

多項式版本

一般嚟講，呢個多項式喺係Q[x]入面，Q係指所有有理數，即係所有嘅分數。想知更多可以去睇多項式。

假設任何兩個多項式 f(x) 同 g(x)，一定會有另外兩個多項式叫 q(x) 同 r(x)，佢哋有以下關係：

$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$

而 r(x) 會符合 $deg(r)<deg(g)$ 呢個條件。

證明

首先證明 q 同 r 係存在：假設 a 係大過零。我哋考慮以下呢個集 (Set)。

$\{a-zb\geq 0:z\in \mathbb {Z} \}$

咁其實上面呢個集係集合咗，所有a減走b嘅倍數嘅正整數。即係呢個集係 $\{a-b,a-2b,a-3b,\dots \}$。

因為 $a>0$，將呢個集入數值最細嗰粒元素叫做 r，咁 $r=a-qb$。

再假設，如果 $r\geq b$，將 $r=a-qb$ 代入去。結果，$a-(q+1)\geq 0$。由於 $r=a-qb$ 係最細個粒，所以 $a-(q+1)\geq 0$ 嘅情況係唔可能出現。因此，$0\leq r<b$。

之後，證明獨特性，呢個證明需要用到可除性嘅概念。

假設有兩個唔同嘅 q 同 r，佢哋兩個符合餘數定理，即係 $a=bq+r=bq'+r'$，同埋 $0\geq r<b,0\geq r'<b$。

因為佢哋都係兩條式都係等於a，所以可以寫成：$bq+r=bq'+r'$。

下一步，$b(q-q')=r-r'$。

根據可除性，b 係可以整除 $(r-r')$。由於兩個 r 都細過 b，所以 $r-r'$ 都係細過 b。

根據上面兩個事實，b 只可以整除 b 嘅倍數，而 b又可以整除到 $r-r'$，而 $r-r'$ 係大過等於零同細過 b。可以得出 $r-r'=0$ 呢個事實。

因此兩個r係一樣。再根據呢個事實，就可以得知兩個 q 都係一樣。

上面證明任何兩個整數相除，佢哋對應嘅商同餘數都係獨一無二。

推理

香港中學教嘅餘數定理（Remainder Theorem）同因式定理（Factor Theorem）都係餘數定理嘅推論（Corollary）。

中學版餘數定理

假設$f(x)$係一個多項式，咁$f(a)$嘅數值就會等於$f(x)\div (x-a)$嘅餘數。

證明

假設將$f(x)\div (x-a)$。

根據餘數定理，得出$f(x)=(x-a)q(x)+r(x)$。

將a代入x，得到$f(a)=(a-a)q(a)+r(a)$，再推一步，$f(a)=r(a)$。

因為$r(a)$就係$f(x)\div (x-a)$嘅餘數。

例一

問題：搵${\frac {x^{2}+2x+3}{x+2}}$嘅餘數。

步驟：假設$f(x)=x^{2}+2x+3$，$g(x)=x+2$。

而家想整走$f(x)=(x-a)q(x)+r(x)$入面，$(x-a)q(x)$呢個項。所以將$x+2=0$。

求$x$後，得知將$a=-2$代入$x$。

求$f(a=-2)=a^{2}+2a+3$。

$f(-2)=(-2)^{2}+(-2)*2+3=-4+4+3=3$。

所以${\frac {x^{2}+2x+3}{x+2}}$嘅餘數係3。

因式定理

如果$(x-a)$係多項式$f(x)$嘅因數，咁一定係$f(a)=0$。

證明

假設$g(x)=(x-a)$。利用多項式版本嘅餘數定理，得到$f(x)=(x-a)q(x)+r(x)$。

將a代入x，得到$f(a)=(a-a)q(a)+r(a)$，再推一步，$f(a)=r(a)$。

因為$(x-a)$係$f(x)$嘅一個因數，所以兩個除完係無餘數。因此$r(a)=0$。

總括而言，$f(a)=0$。

因式定理可以用嚟測定 $(x-a)$ 係唔係一個因數，同埋可以用嚟幫手進行因式分解。

應用

餘數定理重有好多唔同嘅應用。佢可以用嚟證明輾轉相除法，從而可以搵到最大公因數。

而佢都可以證明出以下幾個喺數論入面有用嘅定理。

• 所有嘅單數，都一定係，對應有啲整數$k\in \mathbb {Z}$，$4k+1$或者$4k+3$呢兩個樣之一。
• 任何一個整數$a\in \mathbb {Z}$嘅平方，都一定係，對應有啲整數$k\in \mathbb {Z}$，$3k$或者$3k+1$呢兩個樣之一。
• 任何一個單數$a\in \mathbb {Z}$嘅平方，都一定係，對應有啲整數$k\in \mathbb {Z}$，$8k+1$呢個樣。
• 任何一個單數$a\in \mathbb {Z}$嘅三次方，都一定係，對應有啲整數$k\in \mathbb {Z}$，$9k,9k+1$或者$9k+8$呢幾個樣之一。

睇埋

• 輾轉相除法
• 可除性