絕對值（Absolute value）係數學上面常用嘅概念。佢意指將所有嘅負數變成正數，正數都重係正數。同時，佢可以代表兩個數字之間嘅距離。拓展落去，佢可以代表兩樣嘢之間嘅距離。
絕對值同時都係一個基本函數之一。有咗絕對值，可以推斷到好多有用嘅公式，其中一條就係三角形不等式。
假設有一個實數 a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 。佢嘅絕對值 | a | {\displaystyle |a|} 就係
例子
如果 | a | = 0 {\displaystyle |a|=0} ，咁一定係 a = 0 {\displaystyle a=0} 。( | a | = 0 ⟺ a = 0 {\displaystyle |a|=0\iff a=0} )
證明：
因為三叉性質，所以 a > 0 {\displaystyle a>0} ， a < 0 {\displaystyle a<0} 或者 a = 0 {\displaystyle a=0} 。根據定義，只有 a = 0 {\displaystyle a=0} ，先至會有 | a | = 0 {\displaystyle |a|=0} 。
| − a | = | a | , ∀ a ∈ R {\displaystyle |-a|=|a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }
因為三叉性質，所以 a > 0 {\displaystyle a>0} ， a < 0 {\displaystyle a<0} 或者 a = 0 {\displaystyle a=0} 。
如果 a > 0 {\displaystyle a>0} ，咁 − a < 0 {\displaystyle -a<0} 。得出 | − a | = − ( − a ) = a = | a | {\displaystyle |-a|=-(-a)=a=|a|} 。
如果 a < 0 {\displaystyle a<0} ，咁 − a > 0 {\displaystyle -a>0} 。得出 | a | = − a = | − a | {\displaystyle |a|=-a=|-a|} 。
如果 a = 0 {\displaystyle a=0} ，咁 | a | = | 0 | = 0 = − 0 = | − a | {\displaystyle |a|=|0|=0=-0=|-a|} 。
| a b | = | a | | b | , ∀ a , b ∈ R {\displaystyle |ab|=|a||b|,\,\forall a,b\in \mathbb {R} }
如果 a = 0 {\displaystyle a=0} 或者 b = 0 {\displaystyle b=0} ，咁 | a b | = | a | | b | {\displaystyle |ab|=|a||b|} 。
因為性質二得知，無論 a {\displaystyle a} 同 b {\displaystyle b} 係正數係負數，佢哋嘅絕對值都係一樣。
| a b | = a b = | a | | b | {\displaystyle |ab|=ab=|a||b|} 。
| a 2 | = a 2 , ∀ a ∈ R {\displaystyle |a^{2}|=a^{2},\,\forall a\in \mathbb {R} }
利用性質三得出， | a 2 | = | a a | = | a | | a | = a a = a 2 {\displaystyle |a^{2}|=|aa|=|a||a|=aa=a^{2}} 。
如果 c ≥ 0 {\displaystyle c\geq 0} ，咁只有因為 − c ≤ a ≤ c {\displaystyle -c\leq a\leq c} ，先會得出 | a | ≤ c {\displaystyle |a|\leq c} 。換句話講， | a | ≤ c {\displaystyle |a|\leq c} 同 − c ≤ a ≤ c {\displaystyle -c\leq a\leq c} 係同一個意思。
− | a | ≤ a ≤ | a | , ∀ a ∈ R {\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }
，咁一定係
。(
)
，
或者 。根據定義，只有 ，先至會有 。
， 或者 。
，咁
。得出
。
，咁
。得出
。
，咁
。
或者
，咁
。
同
係正數係負數，佢哋嘅絕對值都係一樣。
。
。
，咁只有因為
，先會得出
。換句話講， 同 係同一個意思。
