子羣
子羣(Subgroup),又寫做子群,係數學嘅抽象代數中嘅一個概念。佢係群呢個概念嘅延伸。
每個群,都一定有兩個子群,一個係自己,另一個就係廢群(Trivial group)。
最細嘅子群係廢群,即係。最簡單嘅子群係循環群,佢係由一個元素生產出來嘅子群。
定義改
假設 係一個群。
如果 嘅子集 係一個子群,咁即係話,連帶住 嘅群運算, 都係一個群。
等價定義改
如果 係 嘅子集同時佢係 嘅子群,等價於 同時符合下面三個條件:
- 唔係空集。
- 同 會令到 。
- 會令到 。
子羣要求改
如果 嘅子集 要成為一個子羣,可以利用以下其中一個定理。
一步子羣要求改
假設 係一個羣, 係一個非空子集。如果任意嘅 同 都令到 ,咁 係一個子羣。
證明:
因為 係 嘅子集,所以 入面嘅運算就係 嘅運算。
- 恆等元:由於 非空,我哋可以揀一粒 ,代入 , ;所以 。
- 逆元:頭先我哋證明咗 ,所以可以揀 , ;所以 。
- 包住:頭先我哋證明咗逆元會喺 入面,所以對任意 ,都有 ,揀 , ;所以 。
兩步子羣要求改
設 係一個羣, 係一個非空子集。如果 同時符合呢兩個條件,咁 就會係子羣:
- 對任意嘅 都有 。
- 對任意嘅 都有 。
證明:
利用一步子羣要求, 就會引到 。
設 ,因為 係包住,所以 。
因此, 。
有限子羣要求改
設 係一個非零有限子集。如果用 嘅運算 係包住, 就係子羣。
證明:
利用兩步子羣要求,只需要證明 。
如果 ,咁 。
如果 ,考慮 ,(因為包住) 。
因為 係有限,所以一定有重覆嘅嘢。
將 , ,咁 。
因為 , ,所以 同埋 , 。
例子改
有好多喺數學入面常見嘅子群例子:
性質改
子集有佢自己嘅性質,多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設 係群, 係 嘅子群, 係 入面嘅嘢。
- 都會喺 入面。
- 都會喺 入面。
- 。即係 入面嘅 係等於 入面嘅 。
證明改
證明(1)
證明(2)
應用改
上面嘅性質,可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設 係群, 係 嘅子群。
- 係 既子群。
- 可以唔係 嘅子群。 係 嘅子群若且唯若 或者 。
- 如果 係 嘅子群,咁 係 嘅子群,當中 表示羣嘅直積。
特殊子群改
以下呢啲子群喺抽象代數入面成日見:
中心群改
中心群(Center of G)係一個群。佢係任何一個群 嘅子群。
定義改
任何群 。佢所有嘅可溝通元素組成嘅子集就係叫做中心群。一般寫做 。
性質改
- 係阿標群 。
- 係 嘅子群,而且佢係 normal subgroup。
圍心群改
圍心群(Centralizer of a Group element)係一個群。佢係任何一個群 嘅子群。
定義改
任何群 入面一粒嘅 。將所有可以同 溝通嘅元素組成嘅子集就係叫做圍心群。一般寫做 。
性質改
- 係 嘅子群。
循環群改
佢就係由 入面一粒嘅 ,所產生出嚟嘅群。利用集論嘅概念表達就係 , 就係呢個群嘅慣用表達。