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循環群(Cyclic Group)係一類,係由一粒嘢所整出嚟嘅群。一般會以嚟表示。

最簡單嘅循環群有加法,咁都係整群出嚟嗰粒嘢,一般會叫呢兩粒嘢做生產元素(Generators)。如果係正數,

咁多次。如果係負數,
咁多次。

目錄

子群定理

如果 係一個群。如果  入面嘅嘢,咁 就係一個子群

證明:

因為  唔係空集。

 

 ,利用一步子群要求  子群

例子一

 ,係 嘅環單元(Units), 

因為

 

 ,所以 

例子二

  

例子三

    入面每一粒嘢。

非子群例子

例子一

 ,對應 。係一個循環群。  都係整群出嚟嘅嘢。

例子二

 。可以得知, 

 

 

 

 

但係 ,因為 

循環子群定理

每一個循環群嘅子群都一定係循環群。(Every subgroup of cyclic Group is cyclic.)

證明:

 係循環群,即係  就係 嘅子群。

如果 係得一粒 ,咁 

如果 唔係淨係得 ,即係揀任何一粒 入面嘅嘢, 

  係整數。

 係最細整數,令到 ,同埋  入面是但一粒嘢。

因為  嘅子群,所以 ,對應有啲 

利用餘數定理,就有兩個數 ,符合 。(同時, 

 

 

因為 係子群,所以 嘅逆元就係 

所以 ,同埋 

但係因為 係最細整數,令到 ,同時 

所以 

正正因為 ,所以 

 

相等元素要求

如果 係一個群, 

如果 係有基數, ,咁 同埋 

如果 係無基數,咁 

證明:

如果 係無基數,咁無一個非零嘅 符合 

因為 ,所以 。因此 

如果 係有基數, 

揀任何一粒 

利用餘數定理,有兩粒  。(同時 

 

所以 

如果  

利用餘數定理,有兩粒  同埋 

 

因為 係最細整數令到 ,所以  

如果 ,咁 

 ,所以 

推論一

任何  

推論二

 係一個群, 同埋佢嘅基數係 

如果 ,咁 

最大公因數定理

 係一個群, 同埋佢嘅基數係  係正整數

  

證明:

 。同埋, 

因為 ,咁 

利用比舒公式,有兩個數  

所以 

 

(想要證明 

 ,所以 

如果有一個整數 係細過 ,咁根據 嘅定義 

利用  

應用

整細個生產表示。例如 ,咁  

推論一

喺有限嘅循環群入面,元素嘅基數除得盡群嘅基數。

推論二

 

。咁 ,同埋 

推論三

 

  

推論四

 入面嘅整數 ,佢係整 出嚟 

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