子羣

子羣（Subgroup），又寫做子群，係數學嘅抽象代數中嘅一個概念。佢係群呢個概念嘅延伸。

每個群 $G$ ，都一定有兩個子群，一個係自己 $G$ ，另一個就係廢群 $\{e\}$ （Trivial group）。

最細嘅子群係廢群，即係 $\{e\}$ 。最簡單嘅子群係循環群，佢係由一個元素生產出來嘅子群。

定義

假設 $G$ 係一個群。

如果 $G$ 嘅子集 $H$ 係一個子群，咁即係話，連帶住 $G$ 嘅群運算， $H$ 都係一個群。

如果 $H$ 係 $G$ 嘅子集同時佢係 $G$ 嘅子群，等價於 $H$ 同時符合下面三個條件：

如果 $G$ 嘅子集 $H$ 要成為一個子羣，可以利用以下其中一個定理。

假設 $G$ 係一個羣， $H$ 係一個非空子集。如果任意嘅 $a\in H$ 同 $b\in H$ 都令到 $ab^{-1}\in H$ ，咁 $H$ 係一個子羣。

證明：

因為 $H$ 係 $G$ 嘅子集，所以 $H$ 入面嘅運算就係 $G$ 嘅運算。

恆等元：由於 $H$ 非空，我哋可以揀一粒 $x\in H$ ，代入 $a=x$ ， $b=x$ ；所以 $e=xx^{-1}=ab^{-1}\in H$ 。
逆元：頭先我哋證明咗 $e\in H$ ，所以可以揀 $a=e$ ， $b=x$ ；所以 $x^{-1}=ex^{-1}=ab^{-1}\in H$ 。
包住：頭先我哋證明咗逆元會喺 $H$ 入面，所以對任意 $x,y\in H$ ，都有 $y^{-1}\in H$ ，揀 $a=x$ ， $b=y^{-1}$ ；所以 $xy=x(y^{-1})^{-1}=ab^{-1}\in H$ 。

設 $G$ 係一個羣， $H$ 係一個非空子集。如果 $H$ 同時符合呢兩個條件，咁 $H$ 就會係子羣：

證明：

利用一步子羣要求， $a,b\in H$ 就會引到 $ab^{-1}\in H$ 。

設 $a,b\in H$ ，因為 $H$ 係包住，所以 $b^{-1}\in H$ 。

因此， $ab^{-1}\in H$ 。

設 $H$ 係一個非零有限子集。如果用 $G$ 嘅運算 $H$ 係包住， $H$ 就係子羣。

證明：

利用兩步子羣要求，只需要證明 $a^{-1}\in H$ 。

如果 $a=e$ ，咁 $a^{-1}=a$ 。

如果 $a\neq e$ ，考慮 $a,a^{2},a^{3},\dots$ ，（因為包住） $a,a^{2},a^{3},\dots \in H$ 。

因為 $H$ 係有限，所以一定有重覆嘅嘢。

將 $a^{i}=a^{j}$ ， $i>j$ ，咁 $a^{i-j}=e$ 。

因為 $a\neq e$ ， $i-j>1$ ，所以 $a^{i-j-1}=a^{-1}$ 同埋 $i-j-1\geq 1$ ， $a^{i-j-1}\in H$ 。

有好多喺數學入面常見嘅子群例子：

$\mathbb {R}$ 實數入面， $\mathbb {R} ^{*}$ 係所有嘅非零實數，佢係一個連帶住一般乘法嘅群； $\mathbb {R} ^{+}$ 係所有正實數，佢係 $\mathbb {R} ^{\star }$ 嘅子群。
$(\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{4},+)$ 有一個子群係 $H=\{(0,0),(3,0),(0,2),(3,2)\}$
連帶乘法嘅複數群 $(\mathbb {C} ,\times )$ 有唔係廢嘅子群： $\{1,-1,i,-i\}$ 。

子集有佢自己嘅性質，多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設 $G$ 係群， $H$ 係 $G$ 嘅子群， $a,b$ 係 $H$ 入面嘅嘢。

證明(1)

因為 $a,b$ 喺 $H$ 入面，而同時 $H$ 都係一個群。

根據包住嘅性質， $a\cdot b$ 都一定會喺 $H$ 入面。

證明(2)

因為 $H$ 係個群，咁對應每一粒 $a\in H$ ， $a^{-1}$ 係一定會係 $H$ 入面。

上面嘅性質，可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設 $G$ 係群， $H,K$ 係 $G$ 嘅子群。

$H\cap K$ 係 $G$ 既子群。
$H\cup K$ 可以唔係 $G$ 嘅子群。 $H\cup K$ 係 $G$ 嘅子群若且唯若 $H\subseteq K$ 或者 $K\subseteq H$ 。
如果 $G_{1},H_{1}$ 係 $G,H$ 嘅子群，咁 $G_{1}\times H_{1}$ 係 $G\times H$ 嘅子群，當中 $\times$ 表示羣嘅直積。