子羣

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子羣(Subgroup),又寫做子群,係數學抽象代數中嘅一個概念。佢係呢個概念嘅延伸。

每個群,都一定有兩個子群,一個係自己,另一個就係廢群(Trivial group)。

最細嘅子群係廢群,即係。最簡單嘅子群係循環群,佢係由一個元素生產出來嘅子群。

定義

假設 係一個群。

如果 嘅子集 係一個子群,咁即係話,連帶住 嘅群運算, 都係一個群。

等價定義

如果  嘅子集同時佢係 嘅子群,等價於 同時符合下面三個條件:

  1.  唔係空集。
  2.   會令到 
  3.  會令到 

子羣要求

如果 嘅子集 要成為一個子羣,可以利用以下其中一個定理。

一步子羣要求

假設 係一個羣, 係一個非空子集。如果任意嘅    都令到 ,咁 係一個子羣。

證明:

因為  嘅子集,所以 入面嘅運算就係 嘅運算。

  • 恆等元:由於   非空,我哋可以揀一粒 ,代入   ;所以 
  • 逆元:頭先我哋證明咗 ,所以可以揀  ;所以 
  • 包住:頭先我哋證明咗逆元會喺   入面,所以對任意 ,都有 ,揀  ;所以 

兩步子羣要求

 係一個羣, 係一個非空子集。如果   同時符合呢兩個條件,咁   就會係子羣:

  1. 對任意嘅   都有  
  2. 對任意嘅   都有  

證明:

利用一步子羣要求, 就會引到 

 ,因為 係包住,所以 

因此, 

有限子羣要求

 係一個非零有限子集。如果用 嘅運算 係包住, 就係子羣。

證明:

利用兩步子羣要求,只需要證明 

如果 ,咁 

如果 ,考慮 ,(因為包住) 

因為 係有限,所以一定有重覆嘅嘢。

  ,咁 

因為  ,所以 同埋  

例子

有好多喺數學入面常見嘅子群例子:

  •  實數入面, 係所有嘅非零實數,佢係一個連帶住一般乘法嘅群; 係所有正實數,佢係 嘅子群。
  •  有一個子群係 
  • 連帶乘法嘅複數群 有唔係廢嘅子群: 

性質

子集有佢自己嘅性質,多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設 係群,  嘅子群,  入面嘅嘢。

  1.  都會喺 入面。
  2.  都會喺 入面。
  3.  。即係 入面嘅 係等於 入面嘅 

證明

應用

上面嘅性質,可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設 係群,  嘅子群。

  1.   既子群。
  2.  可以唔係 嘅子群。  嘅子群若且唯若 或者 
  3. 如果  嘅子群,咁  嘅子群,當中   表示羣嘅直積

特殊子群

以下呢啲子群喺抽象代數入面成日見:

中心群

中心群(Center of G)係一個群。佢係任何一個群 嘅子群。

定義

任何群 。佢所有嘅可溝通元素組成嘅子集就係叫做中心群。一般寫做 

 

性質

  •  阿標群 
  •   嘅子群,而且佢係 normal subgroup

圍心群

圍心群(Centralizer of a Group element)係一個群。佢係任何一個群 嘅子群。

定義

任何群 入面一粒嘅 。將所有可以同 溝通嘅元素組成嘅子集就係叫做圍心群。一般寫做 

 

性質

  •   嘅子群。

循環群

內文: 循環群

佢就係由 入面一粒嘅 ,所產生出嚟嘅群。利用集論嘅概念表達就係  就係呢個群嘅慣用表達。

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